Ha jugado en las Grandes Ligas para los Atlanta Braves y New York Mets, y para los Yomiuri Giants de la Nippon Professional Baseball.
En las menores, se llevó a casa 8 campeonatos con el entrenador Teddy Beyda.En 2004, Acosta comenzó la temporada con los Bravos de la Costa del Golfo de nivel novato.
Sin embargo, después de sólo dos juegos con los GCL Braves, lo llamaron nuevamente a Myrtle Beach.
Comenzó la siguiente razón con los Danville Braves de nivel novato.
Acosta ingresó a la temporada 2008 como lanzador de relevo medio.
Su efectividad para la temporada 2012 con los Mets fue de 11.86, con seis jonrones permitidos en 22 entradas lanzadas.
[2] Para la temporada 2013, Acosta firmó con los Yomiuri Giants un contrato por 1 año y 1,65 millones de dólares.
Se convirtió en agente libre después de la temporada.