Método de los volúmenes finitos

El método de los volúmenes finitos (MVF) es un procedimiento utilizado para representar y evaluar ecuaciones en derivadas parciales en forma de ecuaciones algebraicas.A continuación, estos términos se evalúan como flujos en las superficies de cada volumen finito.Debido a que el flujo que se introduce en un volumen dado es idéntico al que sale del volumen adyacente, se trata de un método conservativo.Otra ventaja del método de los volúmenes finitos es que se formula fácilmente para permitir mallas no estructuradas.El método se utiliza en muchos paquetes de fluidodinámica computacional.El término "volúmenes finitos" hace referencia al pequeño espacio que rodea a cada nodo en una malla.[2]​ Los métodos de volúmenes finitos se pueden comparar y contrastar con los método de las diferencias finitas, que aproximan derivadas utilizando valores nodales, o al método de los elementos finitos, que crea aproximaciones locales de una solución utilizando datos locales y genera una aproximación global uniéndolas.[3]​[4]​ Considérese un problema simple 1D de advección:representa la variable de estado ypositivo representa el flujo hacia la derecha, mientras quenegativo representa flujo hacia la izquierda.Si se asumime que la ecuación (1) representa un medio fluido de área constante, se puede subdividir el dominio espacial,, en volúmenes finitos o celdas con centros indexados comorepresentan ubicaciones de las caras o bordes aguas arriba y aguas abajo, respectivamente, de la celdaIntegrando la ecuación (1) respecto al tiempo, se tiene que:tiene un buen comportamiento y que se puede invertir el orden de integración., se puede aplicar el teorema de la divergencia, es decir,evaluados en la superficie de la celda (bordes) del volumen finito de la siguiente manera:Por lo tanto, se puede obtener un esquema numérico semidiscreto para el problema anterior con centros de celda indexados comoLa ecuación (7) es exacta para los promedios de volumen; es decir, no se han realizado aproximaciones durante su deducción.Este método también se puede aplicar a una situación 2D considerando las caras norte y sur junto con las caras este y oeste alrededor de un nodo.También se puede considerar el problema general de la ley de conservación, representado por la siguiente ecuación en derivadas parciales,representa un vector de estados yrepresenta el tensor de flujo correspondiente.Nuevamente se puede subdividir el dominio espacial en volúmenes o celdas finitos.(9)Al integrar el primer término para obtener el promedio de volumen y aplicar el teorema de la divergencia al segundo, se obtienees un vector unitario normal a la superficie y que apunta hacia afuera.Entonces, finalmente, se puede presentar el resultado general equivalente a (8), es decirLa reconstrucción MUSCL se utiliza a menudo en esquemas de alta resolución cuando se producen colapsos o discontinuidades en la solución.