Nacido en Munich, Alemania, se inició como actor en 1904 en teatros de su ciudad natal, donde permaneció hasta 1908.
En sus inicios cinematográficos trabajó para los directores Urban Gad y Heinrich Bolten-Baeckers, y se hizo conocido por una serie de comedias que llevaban su nombre, Leo, en el título.
Además de actuar, Peukert dirigió once filmes mudos.
En total, a lo largo de su carrera actuó en alrededor de 160 producciones, tanto mudas como sonoras, y en la película Hotel Sacher también actuaba como cantante.
Fue enterrado en el Cementerio Waldfriedhof de Múnich junto a su esposa, la también actriz Sabine Impekoven, con la que se había casado en 1914.