En matemáticas, particularmente en topología, el lema del tubo, también llamado teorema de Wallace, es una herramienta útil para demostrar que el producto finito de espacios compactos es compacto.
compacto, y considérese el espacio producto
es un conjunto abierto que contiene un segmento en
que contiene este segmento y está contenido en
es cualquier espacio topológico e
es un espacio compacto, entonces la aplicación de proyección
Lema del tubo generalizado 1Sean
es un conjunto abierto que contiene a
Lema del tubo generalizado 2Sean
es un conjunto abierto que contiene
para todos menos una cantidad finita de
en la topología del producto, es decir, en el plano euclídeo, y el conjunto abierto
pero no contiene tubos, por lo que en este caso el lema del tubo falla.
es un tubo que contiene a
contradice el hecho de que
Esto demuestra que el supuesto de compacidad es esencial.
El lema del tubo se puede utilizar de la siguiente manera para demostrar que si
(esto es posible, ya que
Por el lema del tubo, hay un conjunto abierto de la forma
, y por lo tanto, tiene un subrecubrimiento finito
, se obtiene una subcolección finita de
Por la parte 2 y por inducción, se puede demostrar que el producto finito de espacios compactos es compacto.
El lema del tubo no se puede utilizar para probar el teorema de Tíjonov, que generaliza lo anterior a productos infinitos.
Por tanto, basta con demostrar el lema del tubo generalizado.
Según la definición de la topología del producto, para cada
es un recubrimiento abierto del conjunto compacto
Básicamente, ahora se repite el argumento para eliminar la dependencia de
un subconjunto finito tal que
Del razonamiento anterior se desprende que
están abiertos, lo que completa la prueba.