Grado (teoría de grafos)
En Teoría de grafos, el grado o valencia de un vértice es el número de aristas incidentes al vértice.
El grado máximo de un grafo G es denotado por Δ(G) y el grado mínimo de un grafo G es denotado por δ(G).
Un grafo donde todos los vértices tienen el mismo grado es un grafo regular, y un grafo no dirigido de n vértices en que todos los vértices tiene grado n-1 es un grafo completo.
La vecindad de un vértice x , denotado como
está dado por todos los vértices adyacentes a x. de modo que el grado del vértice x es el número de vecinos que tiene:
El Lema del apretón de manos determina que la suma de los grados de un grafo simple (es decir, sin bucles) y no dirigido equivale al doble de su número de aristas: Lema del apretón de manos.
: Su demostración es una prueba del doble conteo: como cada arista tiene dos vértices extremos, es contada dos veces.
Algunas implicaciones del Lema del apretón de manos son: Dado un grafo simple no dirigido
) es un estadístico definido como el grado promedio de los nodos:[3] Dado un grafo simple no dirigido
, la varianza de los grados, que denotaremos
Formalmente se define como:[3] Si el grafo es regular, es decir, los grados de todos sus vértices son iguales, entonces
[3] En el caso de los grafos dirigidos o dígrafos, se suele distinguir entre grado de entrada
, como el número de aristas que tiene al vértice x como vértice final, y grado de salida
, como el número de aristas que tiene al vértice x como vértice inicial, de forma que
[3] El Lema del apretón de manos también es cierto en los grafos dirigidos.
Para ello hay que distinguir para cada nodo entre grados de entrada y de salida.
Por lo tanto, el Lema se expresa del siguiente modo:[3] Por lo tanto, en este caso el grado de entrada promedio
y el grado de salida promedio
coinciden, y se definen como:[3] Por otra parte, la varianza de los grados de entrada (
) no necesariamente van a coincidir, quedando como sigue: Ambas varianzas miden la variabilidad de grados entre los actores de la red.
La lista de grados es un invariante (topológica) de un grafo, aunque dos grafos con igual lista de grados no son necesariamente isomorfos.
Un problema interesante es determinar si una secuencia de enteros no negativos cualquiera es o no gráfica, es decir, es una secuencia de grados de un grafo (simple).
Erdős y Gallai[4] (1960) resuelven el problema con su teorema de existencia, mientras que Havel[5] (1955) y Hakimi[6] (1962) nos entregan un teorema de construcción que justifica el Algoritmo Havel-Hakimi para construir un grafo a partir de una secuencia de grados.
es una secuencia de grados de un grafo simple, si y sólo si: Teorema de Havel-Hakimi.
, que resulta de eliminar el primer elemento y restar una unidad a los siguientes
En análisis de redes sociales, el grado se considera la primera y más sencilla de las medidas de centralidad.
En particular, el grado de salida puede considerarse en muchos casos como una medida de «expansividad», y el grado de salida, como una medida de «receptividad» o «popularidad».
El hecho que los grados de entrada y salida de los nodos de una red social sean parecidos, puede considerarse a su vez una tendencia hacia la «mutualidad».
Además, dependiendo de los grados de un nodo o actor
, este se puede clasificar en:[3] El grado modal medio es un estadístico que entrega información sobre una red social.
