En la teoría de las probabilidades, medida e integración, el lema de Borel-Cantelli asegura la finitud en casi todos los puntos de la suma de funciones integrables positivas si es que la suma de sus integrales es finita.
una sucesión de eventos tal que
j ≥ n
{\displaystyle P(\lim _{n\to \infty }\bigcup _{j\geq n}A_{j})=}
j ≥ n
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }P(\bigcup _{j\geq n}A_{j})\leq }
j = n
j = n
una sucesión de eventos tal que
j ≥ n
{\displaystyle 1-P(\lim _{n\to \infty }\bigcap _{j\geq n}A_{j}^{c})=}
j ≥ n
{\displaystyle 1-\lim _{n\to \infty }P(\bigcap _{j\geq n}A_{j}^{c})=}
j = n
{\displaystyle 1-\lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }P(\bigcap _{j=n}^{m}A_{j}^{c})=}
j = n
, donde la última igualdad resulta de la independencia.
Basta ahora probar que
j = n
j = n
j = n
{\displaystyle \lim _{m\to \infty }e^{-\sum _{j=n}^{m}P(A_{j})}=}
una sucesión de funciones positivas medibles desde el espacio de medida
la integral de f respecto de
Supongamos que: entonces por convergencia monótona
Si la sucesión de funciones son indicatrices de conjuntos
, el conjunto de los puntos que pertenecen a infinitos
Un resultado relacionado, a veces llamado segundo lema de Borel-Cantelli, es casi lo inverso del primer lema.
de probabilidad, dice así: dada una sucesión de conjuntos o sucesos independientes
, el conjunto de los puntos que pertenecen a infinitos