[2]​[3]​[4]​ Moran comenzó a tocar el piano con seis años y estudió en la "Houston's High School for the Performing and Visual Arts", pasando después a la Manhattan School of Music, donde estudió con el pianista Jaki Byard.

A Osby le gustaba su forma de tocar, y Moran continuó con él aún después de su regreso a Estados Unidos, realizando sus primeras grabaciones con Osby para Blue Note (Further Ado, 1997).

Además de las grabaciones bajo su propio nombre, Moran tocó también con un buen número de artistas, como Charles Lloyd, Cassandra Wilson, Joe Lovano, Don Byron, Steve Coleman, Lee Konitz, Von Freeman, Christian McBride y Ravi Coltrane.

Actualmente ejerce labores de profesor en el New England Conservatory of Music, y en la propia Manhattan School of Music, cubriendo la plaza que tenía su propio profesor, Jaki Byard.

Todos los discos editados por Blue Note Con Don Byron Con Scott Colley Con Steve Coleman and Five Elements Con Bunky Green Con Stefon Harris Con Charles Lloyd Con Christian McBride Con Francisco Mela Con Paul Motian Con Eric Revis' 11:11 Con Jenny Scheinman Con Christophe Schweizer, Full Circle Rainbow Con Walter Smith III Con Brett Sroka Con Otis Taylor Con Henry Threadgill Con Trio 3 Con Cassandra Wilson