Kleimiónov se graduó en la Academia Zhukovski de Ingeniería de la Fuerza Aérea en 1928.
En 1932-1933, lideró el Laboratorio de Dinámica de Gases, siendo nombrado director del Instituto de Propulsión a Chorro.
En 1937, durante la Gran Purga de Stalin, fue arrestado y detenido en un lugar sin determinar.
Fue sentenciado a muerte y ejecutado basándose en las confesiones falsas bajo coacción de otras personas, incluyendo a Gueorgui Languemak.
En 1955, fue rehabilitado "debido a la carencia de una base criminal" en su encausamiento, otorgándosele póstumamente el título de Héroe del Trabajo Socialista (1991) por su participación en el desarrollo del lanzacohetes múltiple Katiusha.