[2]​ Ashmore comenzó su carrera en Fórmula Junior junto con su hermano Chris, en 1960.

[2]​ Más tarde ese año compitió en Zeltweg y Innsbruck, terminando tercero detrás de Hans Herrmann y Wolfgang von Trips.

[2]​ En 1961 entró en la Fórmula 1 con un Lotus 18 privado,[2]​ y acabó segundo en el Gran Premio de Nápoles detrás de Giancarlo Baghetti[2]​ después de hacer la pole position.

Posteriormente, tomó parte en el Gran Premio de Gran Bretaña pero se retiró a las pocas vueltas.

[2]​ Su última aparición en el campeonato mundial fue con su Lotus en 1962 en Monza,[3]​ pero no se clasificó.