Baum estudió derecho en la Universidad de Colonia y posteriormente trabajó como abogado.

[2]​ Desde 1978 hasta 1982, Baum se desempeñó como ministro federal del Interior en el gobierno del canciller socialdemócrata Helmut Schmidt.

Durante su mandato, liberalizó las investigaciones rutinarias de lealtad a los candidatos a puestos de servicio público, una práctica controvertida destinada a controlar las actividades extremistas que había llevado a un debate profundo sobre el alcance de la democracia en la Alemania Occidental.

[3]​ En 1981, con el respaldo del ministro de Economía Otto Graf Lambsdorff, pidió a la industria automotriz alemana que acordara objetivos para endurecer las normas de emisiones y reducir el consumo de combustible de forma voluntaria.

Entre 2000 y 2001, Baum y otros dos abogados representaron a las tres cuartas partes aproximadamente de las familias de las víctimas del accidente del vuelo 4590 de Air France.