Las funciones simétricas monomiales son una clase especial de funciones simétricas que forman la base más simple del espacio vectorial de funciones simétricas.
es una partición, se construye el monomio
La suma de tales monomios sobre todas las permutaciones distintas de
, da como resultado un polinomio simétrico denotado
(Función simétrica monomial) La función simétrica monomial asociada a la partición
λ ⊢ n
recorre todas las permutaciones distintas de
Las funciones simétricas monomiales en cuatro variables para las particiones más pequeñas son: Obsérvese que en
sólo aparece
y no
, porque ambas corresponden a la misma permutación
de la partición
En particular, se consideran todas las particiones de un entero
partes, añadiendo entradas cero de ser necesario.
Cualquier función simétrica en n variables
{\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\sum _{\sigma }x^{\sigma }}
puede reescribirse en términos de funciones simétricas monomiales como
{\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\sum _{\lambda }m_{\lambda }}
, por lo que el conjunto de funciones simétricas monomiales indizadas por las particiones de n
: λ ⊢ n }
forma una base del espacio vectorial
de funciones simétricas en n variables.
Una consecuencia de la relación anterior es el siguiente teorema.
La dimensión del espacio vectorial
de funciones simétricas en n variables es igual al número
p ( n )
{\displaystyle p(n)}
de particiones del entero n, y el conjunto de funciones simétricas monomiales es una base de dicho espacio vectorial.