En matemáticas, la función polygamma generalizada es una función introducida por Olivier Espinosa y Victor H.
[1] Consiste en una generalización de la función polygamma a orden negativo y fraccionario, permaneciendo igual a ésta para órdenes enteros positivos.
La función polygamma generalizada está definida como sigue: o alternativamente, donde ψ(z) es la función polygamma y ζ(z,q), es la función zeta de Hurwitz.
La función está balanceada si satisface las condiciones Varias funciones especiales pueden ser expresadas en términos de función polygamma generalizada: donde Bn(q) son los polinomios de Bernoulli donde K(z) es la función K y A es la constante de Glaisher.
La función polygamma generalizada puede ser expresada en forma compacta en ciertos puntos (donde A es la constante de Glaisher y G es la constante de Catalan):