En sus años universitarios se afilió a la Federación Universitaria Católica Italiana (FUCI), llegando a ser presidente del club genovés (desde 1925) y consejero nacional (desde 1927).
En esos años entró en contacto con importantes exponentes del mundo católico genovés e italiano: Giovanni Battista Montini, el cardenal de Génova Carlo Dalmazio Minoretti, el político y docente Antonio Boggiano Pico, el jurista y político Camillo Corsanego, el religioso y sacerdote Luis Orione, entre otros.
Ocho meses después, Pablo VI lo nombró asistente central de la Acción Católica.
Costa colaboró con Vittorio Bachelet en el camino posconciliar de la asociación.
Tras su participación en la Acción Católica en 1972 fue nombrado presidente de la comisión episcopal Justicia y Paz.