En matemáticas, dado un anillo conmutativo, una función multilineal es una función de
Dicha función se caracteriza por respetar la suma de vectores y la multiplicación escalar en cualquiera de las coordenadas.
se dice multilineal si es lineal en cada argumento, es decir, para todo
y para todo
Se puede demostrar que la colección de todas las funciones multilineales de
-espacio vectorial respecto a las operaciones usuales de suma y multiplicación escalar de funciones.
Dicho espacio se denota por
{\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(V;R)}
{\displaystyle f\in {\mathcal {M}}_{n}(V;R)}
{\displaystyle \underbrace {V\times \cdots \times V} _{n{\mbox{-veces}}}{\stackrel {f}{\longrightarrow }}R}
En álgebra abstracta a una función como
se le llama tensor y el conjunto de tensores de
{\displaystyle {\mathcal {T}}_{n}(V)={\mathcal {M}}_{n}(V;R)}
denota el espacio dual, y
se dice simétrico si para cada permutación
y cualquier elemento
-espacio vectorial de todos los tensores simétricos se denota por
se dice antisimétrico si para cada permutación
y cualquier elemento
denota el signo de la permutación.
-espacio vectorial de todos los tensores antisimétricos se denota por
se dice alternado si dado
-espacio vectorial de todos los tensores alternados se denota por
{\displaystyle {{\mathcal {A}}L}_{n}(V)}
{\displaystyle {{\mathcal {A}}L}_{n}(V)\subset {\mathcal {A}}_{n}(V)\subset {\mathcal {T}}_{n}(V)}
, es decir, todo tensor alternado es antisimétrico.
{\displaystyle {{\mathcal {A}}L}_{n}(V)={\mathcal {A}}_{n}(V)}
, es decir, los tensores alternados son exactamente los antisimétricos.
Lezama, O., Cuadernos de Álgebra, No.
4: Álgebra Lineal, SAC²: Seminario de Álgebra Constructiva, Departamento de Matemáticas, Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogotá.