Teoría de flujo potencial
Puede definirse sin el signo menos, y la formulación que se obtendría sería la misma.
A un fluido que se comporta según esta teoría se le denomina fluido potencial, que da lugar a un flujo potencial.
Estudió la fuerza de resistencia producida por un flujo de fluido sobre un cuerpo que se oponía a este en dos dimensiones cuando la solución a este problema era completamente desconocida y Newton, a pesar de haberlo estudiado, no había llegado a conclusiones satisfactorias.
, para describir la trayectoria que tuviera cada partícula de un fluido a través del tiempo.
determina un lugar geométrico llamado línea de corriente.
Primeramente definiremos la función corriente en el plano, para luego explicar sus características.
se define como aquella que cumple con las siguientes condiciones:
(línea de corriente=trayectoria se debe a que contemplamos un movimiento plano independiente de t "ψ(x,y)").
estén "sincronizadas", ya que la velocidad en cualquier punto del flujo de fluido será siempre tangente a la trayectoria de la línea de corriente.
Fácilmente se puede demostrar que la familia de curvas determinadas por la función corriente y la función potencial de velocidades forman una red ortogonal, como se verá a continuación: Partimos del diferencial total de la función
La misma propiedad se aplica a cada línea de corriente:
Esta propiedad de ambas funciones permite intercambiarlas para generar otros patrones de flujo y, como las líneas de corriente no pueden cortarse entre sí, no existe ningún caudal que las atraviesa perpendicular a estas.
Esto permite suponer a las líneas de corriente límites materiales, es decir, paredes u obstáculos que restringen o determinan el flujo que se desea estudiar.
Esto ya lo supuso D'Alembert al estudiar el efecto de empuje de un flujo corriendo sobre un objeto que lo obstaculiza.
Estudiando las propiedades de la función corriente y la función potencial determinó que podían superponerse para generar así un patrón de fluido que combinara diversos movimientos.
Superponiendo una fuente y un sumidero de igual caudal obtuvo una circunferencia, que combinó con un flujo uniforme para modelar el flujo de fluido sobre un cilindro de longitud infinita.
Un flujo el cual sea uniforme en una misma dirección cumple con que
Si tomamos esta dirección como la del eje
, obtendremos que el campo de velocidades estará dado por:
y que no existe componente vertical de la velocidad en ningún punto del flujo tenemos:
En esta ecuación podemos tomar la constante de integración igual a cero.
Una fuente o un sumidero de algún fluido tiene la particularidad de que el flujo sólo sale o entra, lo que implica que el vector velocidad para cada punto del flujo será colineal al origen para ambos casos.
Es mucho más sencillo hallar esta función potencial usando coordenadas polares.
Para obtener la función corriente podemos realizar un procedimiento análogo considerando la forma del operador gradiente en coordenadas polares:
d θ = − ψ + f ( r )
La función de potencial para un vórtice irrotacional queda definida por:
Mientras que la función de corriente queda definida por:
es la fuerza del vórtice en la circulación con respecto al origen.
Definiendo un doblete como una fuente y un sumidero separados por una distancia infinitesimal, la función potencial es:
Mientras que la función de corriente queda definida por:
