Sus padres fueron Genaro Ríos Aguirre y María Nicandra Alemán Molina, fue el octavo hijo de diez.
Eulalio fue a Xalapa a estudiar en la Prepa, y en el año 1956 aprendió a nadar en estilo mariposa bajo la tutela de su entrenador Antonio Murrieta y con la exhibición de la entonces nueva técnica, que llamábamos "patada de delfín", por el experimentado nadador del Centro Deportivo Chapultepec (C.D.Ch.)
Compite en su segunda olimpiada en Roma, Italia en 1960, en donde marca 2:24.2 para llegar a semifinales.
En reconocimiento a sus extraordinarios méritos deportivos, la alberca olímpica de la Universidad Veracruzana, en Xalapa, lleva su nombre y en 1966 el gobierno del Estado, le otorga en solemne ceremonia en el estadio Jalapeño, la presea “Gloria del deporte Veracruzano” y su nombre se encuentra inscrito en la sección latinoamericana del Salón internacional de la fama de la natación en Fort Lauderdale, Florida U.S.A., recibiendo el trofeo “Cabeza de Palenque.” La organización Acuática Nelson Vargas, lo clasifica dentro los 10 mejores Nadadores Mexicanos de todos los tiempos, en la quinta posición; solo mejorado por Felipe “Tibio” Muñoz, María Teresa Ramírez, Guillermo Echevarría y Clemente Mejía.
Una escuela de su ciudad lleva su nombre, así como el parque deportivo.