En análisis complejo, los espacios de Hardy (o clases de Hardy) son ciertos espacios de funciones holomorfas en un disco unidad o semiplano superior.
Fueron presentaso por Frigyes Riesz (Riesz 1923), quien los nombró en homenaje a Godfrey Harold Hardy.
Considérese un espacio de probabilidad,
, y una martingala (a tiempo discreto),
, respecto a dicha filtración.
, la esperanza condicionada respecto a la
están formados por las funciones localmente integrables (
Una gran diferencia entre los operadores anteriores (
) es que los dos primeros son adaptados a la filtración (esto es, la expresión truncada al tiempo
-medible), mientras que el último es, además, predecible (es decir, la expresión truncada al tiempo
[1] También, se definen los espacios de Hardy de martingalas predecibles (resp.
), como las funciones localmente integrables para las que existe una sucesión de funciones no-negativas,
del supremo de estas funciones es finita.
Otros espacios de Hardy pueden definirse utilizando distintos operadores.
Para los operadores predecibles, las descomposiciones atómicas siempre están disponibles (habiendo distintas nociones de átomos) y ello resulta verdaderamente útil a la hora de demostrar distintas propiedades.
[2][1] Todos los espacios anteriormente definidos son subespacios de
(es decir, que estos dos espacios son equivalentes) para todo
(desigualdades llamadas de Burkholder-Gundy para
y de Davis para
No obstante, si la filtración dada es regular (lo cual es equivalente a que toda martingala sea predecible), entonces todos los espacios de Hardy definidos son equivalentes, fijado
[2] Aquí pueden comprobarse todas las inclusiones anteriores.
fuese finito, entonces todos los espacios del ejemplo anterior serían equivalentes.
su exponente conjugado, se tiene que
[2] De hecho, los espacios son reflexivos.
De hecho, se tiene que
reciben el nombre de espacios de oscilación media acotada (bounded mean oscillation).
Precisamente, los espacios BMO y bmo pueden utilizarse como "endpoint" para obtener cotas de operadores mediante interpolación (obteniendo resultados como el teorema de Marcinkiewicz.
[6]) y a la hora de identificar espacios de interpolación mediante el método-K[6][2] Básicamente, para estos fines, BMO/bmo juega el mismo papel que
en los resultados clásicos en espacios de Lebesgue.
[7] También, la descomposición de Davis (con la cual se demostraría originalmente la desigualdad de Davis[8]) puede utilizarse para probar la convergencia en