Red recíproca
La red recíproca es un concepto usado en física y matemáticas para denotar a la transformada de Fourier de una red en el espacio real.
Los nodos o puntos que conforman la red recíproca están constituidos por todas las combinaciones lineales de una base vectorial en el espacio recíproco, también conocido en diversas aplicaciones como espacio de Fourier, espacio de momentos o espacio de fases.
[1][2] El espacio recíproco relaciona variables conjugadas y es un concepto fundamental para el análisis de procesos físicos en los que se produce una transferencia de momento.
En cristalografía, los puntos de la red recíproca de la red de Bravais corresponden a las direcciones en las que se puede observar difracción por un cristal.
los vectores base de una red cristalina, tal que cualquier punto de la red se puede expresar como una combinación lineal de estos vectores.
Los vectores base de la correspondiente red recíproca
De la definición se desprende que los vectores
son perpendiculares a los planos definidos por los vectores
respectivamente; es decir, se cumplen las relaciones:[2][7][6] Los vectores
En una red de Bravais todos los puntos son equivalentes, es decir, las propiedades físicas de un punto cualquiera del espacio
son idénticas a las de otro punto relacionado por una translación
[6] El conjunto de todos los vectores
La expansión Fourier se puede generalizar fácilmente a funciones no periódicas (periodo infinito) mediante la transformada de Fourier:
y su correspondiente en el espacio recíproco
, relacionadas por una transformada de Fourier, se denominan variables conjugadas.
Gracias a la relación recíproca es posible interpretar observaciones experimentales directas de la distribución de momentos en experimentos de difracción y espectroscopía y relacionarlos con la distribución espacial de átomos o partículas que no se pueden observar a simple vista.
[8] La celda unidad de un cristal se refiere a un conjunto de átomos a partir del cual se puede generar el cristal entero por traslación en las tres dimensiones del espacio, es decir, es el volumen definido por las intersecciones de una red de Bravais.
[9] La celda unidad se define por la longitud de sus lados
en la dirección de los tres vectores base
que los ejes de la red forman entre sí.
Los correspondientes parámetros de la celda unidad en el espacio recíproco son:[10] El volumen de la celda unidad recíproca es:
es el inverso del volumen de la celda unidad en el espacio real
, es decir:[10] Cuando la celda unidad recíproca contiene solo un punto de la red, se la denomina zona de Brillouin,[11] un concepto muy importante en física del estado sólido, puesto que la solución de una función de onda en un potencial periódico se puede caracterizar totalmente basado en su comportamiento en este volumen del espacio recíproco.
[12] El vector que une el origen
de la red recíproca en la dirección definida por el vector se puede expresar en términos de los vectores base
corresponden a planos en la red real perpendiculares al vector
y que interceptan un número entero de veces a la celda unitaria definida por
Esta relación se conoce como «Ley de Índices Racionales» o Ley de Haüy, y a
se los denomina índices de Miller.
La relación proporciona la interpretación geométrica de la difracción de rayos X, neutrones o electrones por un cristal, en la que la radiación incidente es reflejada por planos virtuales del cristal que cumplen la Ley de Haüy, y el patrón de difracción generado por estas reflexiones está conformado por los nodos de la red recíproca de la red cristalina.
