muestra que la búsqueda de soluciones para este tipo de ecuación diferencial se puede reducir a resolver una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes.
es un número entero no negativo.
En su forma más general (no homogénea): fue estudiada por Euler a partir de 1740.
La ecuación de Euler más común es la de segundo grado: donde a
Se utiliza en varios contextos, por ejemplo, en el estudio de la ecuación de Laplace.
Suponiendo que la ecuación admite una solución trivial del tipo: diferenciando tenemos: Sustituyendo en la ecuación inicial: y reordenando los términos: Ahora se puede resolver en función de
, obteniendo tres casos de particular interés: En el primer caso la solución es: En el segundo es: Para obtener esta solución debemos aplicar el método de reducción de orden después de encontrar una solución
Esta forma se obtiene estableciendo
y usando la fórmula de Euler.