En teoría de la probabilidad, la desigualdad de Márkov proporciona una cota superior para la probabilidad de que una función no negativa de una variable aleatoria sea mayor o igual que una constante positiva.
Su nombre le viene del matemático ruso Andréi Márkov.
La desigualdad de Márkov relaciona las probabilidades con la esperanza matemática y proporciona cotas útiles -aunque habitualmente poco ajustadas- para la función de distribución de una variable aleatoria.
Desigualdad de MárkovSi
es una variable aleatoria no negativa tal que
{\displaystyle \exists \operatorname {E} [X]}
denota la esperanza matemática.
es una variable aleatoria discreta con valores en
, aplicando la definición de la esperanza: Caso continuo Si
es una variable aleatoria continua con función de densidad
, aplicando la definición de la esperanza: Para cualquier suceso A, sea IA la variable aleatoria indicatriz de A, esto es, IA = 1 si ocurre A y es 0 en el caso contrario.
Ahora, nótese que el lado izquierdo de esta desigualdad coincide con
) = a Pr (
a Pr (
y como a > 0, se pueden dividir ambos lados entre a.
Una prueba más formal, relacionada con la teoría de la medida, es la siguiente:
{\displaystyle \Pr(|X|\geq a)=\int _{a}^{\infty }{f(x)dx}\leq \int _{a}^{\infty }{{\frac {|x|}{a}}f(x)dx}\leq {\frac {1}{a}}\int _{-\infty }^{\infty }{|x|f(x)dx}={\frac {\mathbb {E} (|X|)}{a}}}
En la introducción de
, nótese que ya que estamos considerando la variable aleatoria sólo en sus valores iguales o mayores a
y, por tanto,
con lo que al multiplicar
{\displaystyle f(x)dx}
por algo mayor a uno será igual o mayor.
La segunda desigualdad viene de añadir la suma
{\displaystyle \int _{-\infty }^{a}{|x|f(x)dx}}
que siempre será positiva ya que se integra algo positivo como es el valor absoluto (porque
f ( x )
{\displaystyle \scriptstyle f(x)}