Demostración inválida

Estas falacias se consideran normalmente meras curiosidades, pero pueden ser usadas para ilustrar la importancia del rigor en esta área.La división por cero es un caso particular: la función f es x → x × 0, y el paso erróneo es comenzar con x × 0 = y × 0 y con ello concluir que x = y. Supongamos que estamos trabajando en el conjunto de los Números Complejos y comencemos con lo siguiente: 1=1 es igual a que los elementos son reflejantes Ahora, los convertimos en fracciones Aplicando la raíz cuadrada en ambos lados obtenemos Que equivale a Pero ya queSupongamos que Ahora tomamos el logaritmo en ambos lados de la desigualdad.Podemos hacerlo siempre que x > 0, porque los logaritmos crecen monótonamente.Si tenemos en cuenta que el logaritmo de 1 es 0, obtendremos Dividir por ln x da como resultadoSi dividimos ambos miembros por un término negativo es necesario invertir el símbolo de la desigualdad.La falacia se encuentra de la línea 4 a la 5: donde siendo a=b, en el mismo término a² - b² se anulan dando en el mismo término cero y como la división por cero no está definida, la demostración no es válida.El error: en la primera línea de la supuesta demostración se asumió que x era entero; dicha expresión no tiene sentido para números no enteros.Otra forma de ver el error es que se están derivando dos funciones distintas con derivada distinta pero que se intersecan en un punto.Elevamos al cuadrado ambos lados Como (a - b)(c) = c² = ac - bc, podemos reescribirlo como Si lo reordenamos, obtenemos Factorizamos ambos miembros Dividimos ambos miembros por (a - b -c) Al finalEl error se encuentra en que la ley asociativa no se puede aplicar libremente a sumas infinitas a menos que sean absolutamente convergentes.Esta última era, según Guido Ubaldus, la demostración de que Dios existe, ya que se había "creado" algo de la nada.