Button se unió cuando era joven a su club de barrio Stevenage Borough y en su adolescencia se unió a la academia Center of excellence.[3] Button se unió a la academia del Tottenham Hotspur en 2003 y firmó una beca escolar en julio de 2005.[5] Una lesión del segundo arquero del club, Heurelho Gomes, lo hizo estar en la banca por primera vez para el club en la temporada 2009-10, en la victoria por 2-1 ante el West Ham United en la Premier League el 23 de agosto de 2009.[5][6] Button debutó en el siguiente encuentro, reemplazando a Carlo Cudicini al minuto 81 en la victoria por 5-1 contra el Doncaster Rovers en la Copa de la Liga.[8] En agosto de 2012 Button dejó el Tottenham, registrando solo 8 minutos jugados en su debut por el club.[15] Button debutó en la Football League de visita contra el Rotherham United, donde el Bournemouth perdió por 1-0.[16] Registró cuatro encuentros jugados por las cerezas y regresó al Tottenham el 28 de febrero.[40] La baja de Simon Moore al Cardiff City y la lesión de Richard Lee permitió que la primera opción al arco del entrenador Uwe Rösler fuera Button.[42] Jugó los primeros seis encuentros de la temporada, pero el 7 de septiembre contra el Bradford City cuando el marcador estaba 0 a 0, Button recibió una tarjeta roja directa por una falta a Nahki Wells del Bradford en el área en el minuto 26.[47] Button jugó 45 encuentros y registró 20 vallas invictas en partidos de liga durante la temporada 2013-14.[48] Con las frecuentes lesiones de Richard Lee, Button aseguró su titularidad durante la temporada 2014-15.[50] Una gran temporada para Button, donde registró 49 encuentros jugados y once vallas invictas en la liga.[57] Al conseguir el sexto lugar en la clasificación, el Fulham se clasificó a los play-offs,[58] donde Button estuvo en la banca en la derrota en semifinales ante el Reading.
