Cota de Cramér-Rao

En estadística, la cota de Cramér-Rao (abreviada CRB por sus siglas del inglés) o cota inferior de Cramér-Rao (CRLB), llamada así en honor a Harald Cramér y Calyampudi Radhakrishna Rao, expresa una cota inferior para la varianza de un estimador insesgado, basado en la información de Fisher.

, es una cota inferior para la varianza de un estimador insesgado del parámetro (denotado mediante

es la función de verosimilitud.

En algunos casos, no existe un estimador insesgado que alcance la cota inferior.

A esta cota se la conoce también como la desigualdad de Cramér-Rao o como la desigualdad de información.

, y del estimador

: En algunos casos, un estimador sesgado puede tener tanto varianza como error cuadrático medio por debajo de la cota inferior de Cramér-Rao (la cota inferior se aplica solo a estimadores insesgados).

Si se extiende la segunda condición de regularidad a la segunda derivada, entonces se puede usar una forma alternativa de la información de Fisher para obtener una nueva desigualdad de Cramér-Rao En algunos casos puede resultar más sencillo tomar la esperanza con respecto a la segunda derivada que tomarla respecto del cuadrado de la primera derivada.

Extendiendo la cota de Cramér-Rao para múltiples parámetros, defínase el vector columna de parámetros con función de densidad de probabilidad

que satisface las dos condiciones de regularidad definidas anteriormente.

definidos según entonces, la cota de Cramér-Rao es donde

es una matriz semi-definida positiva, es decir Si

es un estimador insesgado (es decir,

) entonces la cota de Cramér-Rao es

es la traza de una matriz.

es ruido blanco gaussiano (una muestra de

observaciones independientes) con varianza conocida