Conjetura de Collatz

La conjetura de Collatz, conocida también como conjetura 3n+1 o conjetura de Ulam (entre otros nombres), fue enunciada por el matemático Lothar Collatz en 1937, y aún no ha sido resuelta.Sea la siguiente operación, aplicable a cualquier número entero positivo: Formalmente, esto equivale a una funciónAhora, se forma una sucesión mediante la aplicación de esta operación repetidamente, comenzando por cualquier entero positivo, y tomando el resultado de cada paso como la entrada del siguiente.Dado un número cualquiera, podemos considerar su órbita, es decir, las imágenes sucesivas al iterar la función.Por ejemplo, si n=13: Si observamos este ejemplo, la órbita de 13 es periódica, es decir, se repite indefinidamente a partir de un momento dado, que corresponde con el ciclo 4, 2, 1: Aunque no se ha demostrado la veracidad ni falsedad del resultado, existen ciertas evidencias en ambos sentidos.[cita requerida] Si existe algún contraejemplo a la conjetura (es decir, un número cuya secuencia no alcance nunca el 1), debe satisfacer alguna de estas condiciones: Aunque formalmente no demuestra nada, existen diversos grupos de computación que se dedican a calcular las secuencias de números cada vez más grandes.[1]​ Los números que son suma de potencias de 4, como 5 = 1 + 4, 21 = 1 + 4 + 16, 85 = 1 + 4 + 16 + 64, 341 = 1 + 4 + 16 + 64 + 256, generan el 1 en forma casi directa, como en el ejemplo: 21 · 3 + 1 = 64, que es una potencia de 2 y genera el 1 al dividir 6 veces entre 2.es la suma de una progresión geométrica, e igual aAlgunas propiedades de las trayectorias podrían ayudar a demostrar la conjetura.Las más importantes son las siguientes: 1) Las trayectorias de un número impar q y de 4q+1 se juntan.2) Las trayectorias de un impar q y 2q+1 se unen en determinadas condiciones.Si representamos sólo los impares, se ve este fenómeno más claramente.Nótese que 3 y 7 no se conectan de esa manera.11 no se conecta con el 5 de esta manera.Aquí vemos los primeros números y se juntan a nivel del 47 27, 41, 31, 47, 71, 107,... 55, 83, 125, 47, 71, 107, ...Esta propiedad funciona para la gran mayoría de los números.213 = 210 + 3 213 · 3 + 1 = 639 + 1 = 640 = 5 · 128 128 es una potencia de 2, por lo que, dividiendo 7 veces entre 2, se llega a 1 Se puede generalizar este resultado de la siguiente manera: Si, al aplicar el algoritmo de Collatz aEntonces, el siguiente impar en la sucesión del 33 será el 25 =Entonces, el siguiente impar en la sucesión del 73 será el 55 =Los números que son de la formay estos son menores que el número de partida para todo n natural.De la misma forma, el 111 genera el 334 que pertenece a la sucesión de números que empieza en el 27.Luego pueden ser demostrados los teoremas correspondientes.Por ejemplo, los números como 5, 21, 85, etc., tienen una expresión del tipo 10101...01 en sistema binario.Los números del tipo 111...11 (n unos) que son iguales a, generan en un primer momento los de este tipo: 1011...111, (n+1 cifras).En un segundo momento se obtiene 10001...1 (n+2 cifras), luego 11010111...1, etc.Existen algunas variantes como, por ejemplo, la conjetura 2n+2, la cual se enuncia exactamente igual cambiando la función de impares a pares, es decir, si el número es impar, se multiplica por 2 y se suma 2.Un posible código en python a esta conjetura para demostrarla es la siguiente: Como otra opcion, en Rust puede demostrarse con este código: