Capa límite de Falkner-Skan

En dinámica de fluidos, la capa límite de Falkner-Skan (llamada así por V. M. Falkner y Sylvia W. Skan[1]​) describe la capa límite laminar bidimensional estacionaria que se forma sobre una cuña, es decir, flujos en los que la placa no es paralela al flujo.También es representativa del flujo en una placa plana con un gradiente de presión impuesto a lo largo de la longitud de la placa, una situación que se encuentra a menudo en el flujo del túnel de viento.Ludwig Prandtl[2]​ simplificó las ecuaciones para el fluido que fluye a lo largo de una pared (cuña) dividiendo el flujo en dos áreas: una cerca de la pared dominada por la viscosidad, y otra fuera de esta región de la capa límite cercana a la pared donde la viscosidad puede despreciarse sin efectos significativos en la solución.Para un flujo incompresible constante con viscosidad y densidad constantes, estas ecuaciones son las siguientes: Continuidad de la masa:{\displaystyle {\dfrac {\partial u}{\partial x}}+{\dfrac {\partial v}{\partial y}}=0}Aquí el sistema de coordenadas se elige conapuntando paralelo a la placa en la dirección del flujo y la coordenadaSe han encontrado varias soluciones de similitud a estas ecuaciones para diversos tipos de flujo.Estos factores de escala reducen las ecuaciones diferenciales parciales a un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias relativamente fáciles de resolver.Falkner y Skan generalizaron la capa límite de Blasius considerando una cuña con un ángulo dedesde algún campo de velocidad uniforme[3]​ La primera hipótesis clave de Falkner y Skan fue que el término de gradiente de presión en la ecuación del momento x de Prandtl podía sustituirse por la forma diferencial del ecuación Bernoulli en el límite del número de Reynolds alto.es la longitud de la cuña y m es una constante adimensional.y las velocidades vienen dadas por: Esto significa que La ecuación de Prandtl x-momentum no dimensionalizada que utiliza la longitud de similitud y los factores de escala de velocidad junto con las velocidades basadas en la función de corriente da como resultado una ecuación conocida como ecuación de Falkner-Skan y viene dada por: donde cada guion representa la diferenciación con respecto a(Nótese que a veces se utiliza otra ecuación equivalente con unaEsto cambia f y sus derivadas pero al final resulta en las mismas solucionescomo una ODE con condiciones de contorno: El ángulo de cuña, tras algunas transformaciones, viene dado por: El caso, el problema se reduce al Flujo de Hiemenz.Aquí, m < 0 corresponde a un gradiente de presión adverso (a menudo resultando en separación de la capa límite) mientras que m > 0 representa un gradiente de presión favorable.En 1937 Douglas Hartree demostró que las soluciones físicas a la ecuación de Falkner-Skan sólo existen en el intervalo Para valores más negativos de m, es decir, para gradientes de presión adversos más fuertes, todas las soluciones que satisfacen las condiciones de contorno en η = 0 tienen la propiedad de que f(η) > 1 para un rango de valores de η.Esto es físicamente inaceptable porque implica que la velocidad en la capa límite es mayor que en el flujo principal.[7]​ Para más información, véase Wilcox (2007).Con la solución para f y sus derivadas obtenidas, las velocidades de Falkner y Skan se convierten en:[8]​: 164 y La ecuación del, para el perfil de Falkner-Skan viene dado por: y el esfuerzo cortante que actúa en la cuña viene dado por Aquí se estudia la capa límite de Falkner-Skan con una entalpía específica especificadaya no son constantes aquí.es el número de Prandtl con sufijoque representa propiedades evaluadas en el infinito.Las condiciones de contorno se convierten en A diferencia de la capa límite incompresible, la solución de similitud sólo puede existir para si la transformación se cumple y esto sólo es posible siIntroduciendo las variables autosimilares mediante la transformación Howarth-Dorodnitsyn las ecuaciones se reducen a La ecuación se puede resolver una vezLas condiciones de contorno son Las expresiones comúnmente utilizadas para el aire son