La mecánica cuántica fue formalizada por John von Neumann, mientras que la forma en que las simetrías se reflejan en la misma viene descrita por un famoso teorema de Eugene Paul Wigner.
En mecánica cuántica general, esta idea conduce al postulado que dado un vector Ψ en el espacio de Hilbert, todos los vectores que se diferencian de Ψ por un múltiplo complejo diferente a cero (rayo que contiene Ψ) deben representar igual estado puro del sistema.
Geométricamente, decimos que el espacio relevante es el conjunto de rayos, conocido como espacio proyectivo de Hilbert.
Observe que los rayos mismos no forman un espacio lineal (sino una variedad proyectiva).
Un vector unitario Ψ en un rayo dado Ψ se puede utilizar para representar el estado físico más convenientemente que Ψ mismo, aunque es ambiguo en fase (múltiplo complejo de módulo unidad).
La probabilidad de transición entre dos rayos Ψ y Φ se puede definir en términos de los representantes Ψ y Φ vectoriales por: y es independiente de qué representantes vectoriales, de Ψ y Φ se eligen.
Wigner postuló que la probabilidad de la transición entre los estados debe ser igual para todos los observadores relacionados por una transformación de la relatividad especial.
Sea (a, L) un elemento del grupo de Poincaré (el grupo no homogéneo de Lorentz), así, a es un tetra-vector real de Lorentz que representa el cambio del origen del espacio-tiempo (x en el espacio de Lorentz = R4) y L es una transformación de Lorentz, que se puede definir como transformación lineal del espacio-tiempo cuadridimensional que preserva la distancia c²t²- x.x de Lorentz de cada vector (c t, x).
Haciendo esto para cada elemento del grupo (a, L), conseguimos una familia de operadores unitarios o antiunitarios U(a, L) en nuestro espacio de Hilbert, tal que el rayo Ψ transformado por (a, L) sea igual que el rayo que contiene U(a, L)Ψ.
Si restringimos la atención a los elementos del grupo conectado con la identidad, entonces el caso anti-unitario no ocurre.
Sean (a,L) y (b,M) dos transformaciones de Poincaré, y denotemos su producto de grupo como (a, L).
(b, M) de la interpretación física vemos que el rayo que contiene U(a, L) [U(b, M)Ψ] (para cualquier Ψ) debe ser el rayo que contiene U((a, L).
Por lo tanto estos dos vectores se diferencian por una fase, que puede depender de los dos elementos del grupo (a,L) y (b,M).
Estos dos vectores no necesitan ser iguales, sin embargo.
Debido al cambio de signo bajo rotaciones de 2π, los operadores hermitianos que se transforman como espín 1/2, 3/2 etc. no puede ser observables.
El grupo de traslaciones del espacio-tiempo es conmutativo, así que los operadores pueden ser simultáneamente diagonalizados.
Los generadores de estos grupos nos dan cuatro operadores autoadjuntos, P0, Pj, j=1,2,3, que se transforman bajo el grupo homogéneo como un tetra-vector, llamados el tetra-vector de energía-momento.
La segunda parte del cero-ésimo axioma de Wightman es que la representación U(a, A) satisface la condición espectral - que el espectro simultáneo de energía-momento está contenido en el cono delantero: La tercera parte del axioma es que hay un estado único, representado por un rayo en el espacio de Hilbert, que es invariante bajo la acción del grupo de Poincaré.
Los campos A son distribuciones temperadas valoradas en operadores.
Los campos son operadores que bajo la acción del grupo de Poincaré (esto correspondería por ejemplo a un cambio del sistema de referencia), el operador asociado al campo debe transformarse según una representación S del grupo de Lorentz (o de su recubridor universal SL(2, C) si el espín no es número entero):
Si la teoría tiene un salto de masa, es decir no hay masas entre 0 y una cierta constante mayor de cero, entonces el las distribuciones de expectativa del vacío son asintóticamente independientes en regiones distantes.
Actualmente, no hay prueba de que estos axiomas se puedan satisfacer para las teorías de gauge en cuatro dimensiones, por eso el modelo estándar no está definitivamente fundamentado.