Estudió en los seminarios de Monza y Milán (obteniendo un doctorado en teología en este último), y en la Pontificia Universidad Gregoriana de Roma, en dónde obtuvo un doctorado en derecho canónico.

Llevó a cabo su ministerio pastoral en Milán, siendo secretario privado del arzobispo desde 1928 hasta 1929.

Dell'Acqua fue secretario de las delegaciones apostólicas en Turquía y Grecia desde 1931 hasta 1935.

De 1962 a 1965, Dell'Acqua asistió al Concilio Vaticano II.

Él era también un amigo cercano del cardenal Giacomo Lercaro.