Tras graduarse en derecho canónico, en 1954 obtuvo la licenciatura en teología.
En marzo de 1974, como segundo de la Secretaría de Estado, viajó a Madrid para resolver el contencioso del caso Añoveros que enfrentaba a la dictadura franquista con la Iglesia Católica española, encabezada por el cardenal Tarancón.
El período de prisión duró varias semanas, durante las cuales se permitió a Acerbi celebrar la Santa Misa todos los días para los presentes.
El 28 de marzo de 1990 fue trasladado a Hungría, primer nuncio apostólico nombrado tras la instauración del comunismo en ese país.
El 6 de octubre de 2024, durante el Ángelus del papa Francisco, se hizo público que sería creado cardenal.