Su padre, Julio Antonio, fue contador público, industrial y militó en el movimiento religioso cristiano «Acción Católica» donde conoció a Marta Pérez, su esposa.

Aníbal es el cuarto de los cinco hijos del matrimonio, sus hermanos son Patricio, Alejandro, Claudia y Amílcar.

Luego, cuando Julio fue elegido intendente municipal de Moreno, Aníbal continuó acompañándolo como Secretario General del Municipio.

[cita requerida] Aníbal integró el bloque de Unión PRO Peronista en la Cámara Alta Provincial.

Durante al menos un año, Asseff tuvo incompatibilidad de funciones, por cobrar doble sueldo del Estado.