Aleksandar Čavrić nació en Vukovar, ciudad croata próxima a la frontera con Serbia.

Después de trasladarse con su familia a Zrenjanin, en la provincia de Voivodina, se unió a las categorías inferiores del Proleter Zrenjanin, fichando años más tarde por el equipo rival de la ciudad, el F. K. Banat, club con el que debutaría profesionalmente.

[1]​ En junio de 2012 fue traspasado al O. F. K. Belgrado, siendo el máximo goleador del club con 11 goles en liga en 30 apariciones en la temporada 2013-14.

[2]​ Tras no haber disfrutado de minutos, Čavrić se marchó cedido durante una temporada al Aarhus GF de la Superliga de Dinamarca en agosto de 2015, con opción de traspaso al club danés.

[3]​ En septiembre de 2016, el delantero serbio firmó por cuatro años con el Slovan Bratislava, de la máxima categoría eslovaca.