Distribución de von Mises

Distribución de probabilidad en el círculo.

En teoría de la probabilidad y estadística direccional , la distribución de von Mises (también conocida como distribución normal circular o distribución de Tikhonov ) es una distribución de probabilidad continua en el círculo . Es una aproximación cercana a la distribución normal envuelta , que es el análogo circular de la distribución normal . Un ángulo que se difunde libremente en un círculo es una variable aleatoria envuelta normalmente distribuida con una varianza no envuelta que crece linealmente en el tiempo. Por otra parte, la distribución de von Mises es la distribución estacionaria de un proceso de deriva y difusión en el círculo en un potencial armónico, es decir, con una orientación preferida. ^[1] La distribución de von Mises es la distribución de entropía máxima para datos circulares cuando se especifican las partes real e imaginaria del primer momento circular . La distribución de von Mises es un caso especial de la distribución de von Mises-Fisher en la esfera N -dimensional. ${\displaystyle \theta }$

Definición

La función de densidad de probabilidad de von Mises para el ángulo x viene dada por: ^[2]

${\displaystyle f(x\mid \mu ,\kappa )={\frac {\exp(\kappa \cos(x-\mu ))}{2\pi I_{0}(\kappa )}}}$

donde I ₀ ( ) es la función de Bessel modificada del primer tipo de orden 0, con esta constante de escala elegida de modo que la distribución sume la unidad: ${\displaystyle \kappa }$ ${\textstyle \int _{-\pi }^{\pi }\exp(\kappa \cos x)dx={2\pi I_{0}(\kappa )}.}$

Los parámetros μ y 1/ son análogos a μ y σ ² (la media y la varianza) en la distribución normal: ${\displaystyle \kappa }$

• μ es una medida de ubicación (la distribución se agrupa alrededor de μ ), y
• ${\displaystyle \kappa }$es una medida de concentración (una medida recíproca de dispersión , por lo que 1/ es análoga a σ ² ). ${\displaystyle \kappa }$
  • Si es cero, la distribución es uniforme y, para pequeñas , es casi uniforme. ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$
  • Si es grande, la distribución se vuelve muy concentrada alrededor del ángulo μ siendo una medida de la concentración. De hecho, a medida que aumenta, la distribución se acerca a una distribución normal en x   con media μ y varianza 1/ . ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$

La densidad de probabilidad se puede expresar como una serie de funciones de Bessel ^[3]

${\displaystyle f(x\mid \mu ,\kappa )={\frac {1}{2\pi }}\left(1+{\frac {2}{I_{0}(\kappa )}}\sum _{j=1}^{\infty }I_{j}(\kappa )\cos[j(x-\mu )]\right)}$

donde I _j ( x ) es la función de Bessel modificada de orden j .

La función de distribución acumulativa no es analítica y se encuentra mejor integrando las series anteriores. La integral indefinida de la densidad de probabilidad es:

${\displaystyle \Phi (x\mid \mu ,\kappa )=\int f(t\mid \mu ,\kappa )\,dt={\frac {1}{2\pi }}\left(x+{\frac {2}{I_{0}(\kappa )}}\sum _{j=1}^{\infty }I_{j}(\kappa ){\frac {\sin[j(x-\mu )]}{j}}\right).}$

La función de distribución acumulativa será función del límite inferior de integración x ₀ :

${\displaystyle F(x\mid \mu ,\kappa )=\Phi (x\mid \mu ,\kappa )-\Phi (x_{0}\mid \mu ,\kappa ).\,}$

Momentos

Los momentos de la distribución de von Mises generalmente se calculan como los momentos del exponencial complejo z = e ^ix en lugar del ángulo x en sí. Estos momentos se denominan momentos circulares . La varianza calculada a partir de estos momentos se denomina varianza circular . La única excepción a esto es que la "media" generalmente se refiere al argumento de la media compleja.

El nésimo momento bruto de z es:

${\displaystyle m_{n}=\langle z^{n}\rangle =\int _{\Gamma }z^{n}\,f(x|\mu ,\kappa )\,dx}$

${\displaystyle ={\frac {I_{|n|}(\kappa )}{I_{0}(\kappa )}}e^{in\mu }}$

donde la integral está sobre cualquier intervalo de longitud 2π. Al calcular la integral anterior, utilizamos el hecho de que z ⁿ = cos( n x) + i sin( nx ) y la identidad de la función de Bessel: ^[4] ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle I_{n}(\kappa )={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{\kappa \cos(x)}\cos(nx)\,dx.}$

La media de la exponencial compleja z   es entonces simplemente

${\displaystyle m_{1}={\frac {I_{1}(\kappa )}{I_{0}(\kappa )}}e^{i\mu }}$

y el valor medio circular del ángulo x se toma entonces como argumento μ . Esta es la dirección esperada o preferida de las variables aleatorias angulares. La varianza de z , o la varianza circular de x es:

${\displaystyle {\textrm {var}}(x)=1-E[\cos(x-\mu )]=1-{\frac {I_{1}(\kappa )}{I_{0}(\kappa )}}.}$

Comportamiento limitante

Cuando es grande, la distribución se parece a una distribución normal . Más específicamente, para números reales positivos grandes , ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle f(x\mid \mu ,\kappa )\approx {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[{\dfrac {-(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}$

donde σ ² = 1/ y la diferencia entre el lado izquierdo y el lado derecho de la aproximación converge uniformemente a cero cuando tiende al infinito. Además, cuando es pequeña, la función de densidad de probabilidad se asemeja a una distribución uniforme : ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle \lim _{\kappa \rightarrow 0}f(x\mid \mu ,\kappa )=\mathrm {U} (x)}$

donde el intervalo para la distribución uniforme es el intervalo de longitud elegido (es decir , cuándo está en el intervalo y cuándo no está en el intervalo). ${\displaystyle \mathrm {U} (x)}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \mathrm {U} (x)=1/(2\pi )}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathrm {U} (x)=0}$ ${\displaystyle x}$

Estimación de parámetros

Se puede utilizar una serie de N mediciones extraídas de una distribución de von Mises para estimar ciertos parámetros de la distribución. ^[5] El promedio de la serie se define como ${\displaystyle z_{n}=e^{i\theta _{n}}}$ ${\displaystyle {\overline {z}}}$

${\displaystyle {\overline {z}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}z_{n}}$

y su valor esperado será solo el primer momento:

${\displaystyle \langle {\overline {z}}\rangle ={\frac {I_{1}(\kappa )}{I_{0}(\kappa )}}e^{i\mu }.}$

En otras palabras, es un estimador insesgado del primer momento. Si suponemos que la media se encuentra en el intervalo , entonces Arg será un estimador (sesgado) de la media . ${\displaystyle {\overline {z}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle ({\overline {z}})}$ ${\displaystyle \mu }$

Viendo como un conjunto de vectores en el plano complejo, la estadística es el cuadrado de la longitud del vector promediado: ${\displaystyle z_{n}}$ ${\displaystyle {\bar {R}}^{2}}$

${\displaystyle {\bar {R}}^{2}={\overline {z}}\,{\overline {z^{*}}}=\left({\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\cos \theta _{n}\right)^{2}+\left({\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\sin \theta _{n}\right)^{2}}$

y su valor esperado es ^[6]

${\displaystyle \langle {\bar {R}}^{2}\rangle ={\frac {1}{N}}+{\frac {N-1}{N}}\,{\frac {I_{1}(\kappa )^{2}}{I_{0}(\kappa )^{2}}}.}$

En otras palabras, la estadística

${\displaystyle R_{e}^{2}={\frac {N}{N-1}}\left({\bar {R}}^{2}-{\frac {1}{N}}\right)}$

será un estimador insesgado de y al resolver la ecuación se obtendrá un estimador (sesgado) de . En analogía con el caso lineal, la solución de la ecuación producirá la estimación de máxima verosimilitud de y ambos serán iguales en el límite de N grande . Para una solución aproximada, consulte la distribución de von Mises-Fisher . ${\displaystyle {\frac {I_{1}(\kappa )^{2}}{I_{0}(\kappa )^{2}}}\,}$ ${\displaystyle R_{e}={\frac {I_{1}(\kappa )}{I_{0}(\kappa )}}\,}$ ${\displaystyle \kappa \,}$ ${\displaystyle \kappa \,}$ ${\displaystyle {\bar {R}}={\frac {I_{1}(\kappa )}{I_{0}(\kappa )}}\,}$ ${\displaystyle \kappa \,}$ ${\displaystyle \kappa \,}$

Distribución de la media

La distribución de la media muestral para la distribución de von Mises viene dada por: ^[7] ${\displaystyle {\overline {z}}={\bar {R}}e^{i{\overline {\theta }}}}$

${\displaystyle P({\bar {R}},{\bar {\theta }})\,d{\bar {R}}\,d{\bar {\theta }}={\frac {1}{(2\pi I_{0}(\kappa ))^{N}}}\int _{\Gamma }\prod _{n=1}^{N}\left(e^{\kappa \cos(\theta _{n}-\mu )}d\theta _{n}\right)={\frac {e^{\kappa N{\bar {R}}\cos({\bar {\theta }}-\mu )}}{I_{0}(\kappa )^{N}}}\left({\frac {1}{(2\pi )^{N}}}\int _{\Gamma }\prod _{n=1}^{N}d\theta _{n}\right)}$

donde N es el número de mediciones y consta de intervalos de en las variables, sujeto a la restricción de que y sean constantes, donde es la media resultante: ${\displaystyle \Gamma \,}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle {\bar {R}}}$ ${\displaystyle {\bar {\theta }}}$ ${\displaystyle {\bar {R}}}$

${\displaystyle {\bar {R}}^{2}=|{\bar {z}}|^{2}=\left({\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\cos(\theta _{n})\right)^{2}+\left({\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\sin(\theta _{n})\right)^{2}}$

y es el ángulo medio: ${\displaystyle {\overline {\theta }}}$

${\displaystyle {\overline {\theta }}=\mathrm {Arg} ({\overline {z}}).\,}$

Tenga en cuenta que el término del producto entre paréntesis es solo la distribución de la media para una distribución uniforme circular . ^[7]

Esto significa que la distribución de la dirección media de una distribución de von Mises es una distribución de von Mises o, de manera equivalente, . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle VM(\mu ,\kappa )}$ ${\displaystyle VM(\mu ,{\bar {R}}N\kappa )}$ ${\displaystyle VM(\mu ,R\kappa )}$

entropía

Por definición, la entropía de la información de la distribución de von Mises es ^[2]

${\displaystyle H=-\int _{\Gamma }f(\theta ;\mu ,\kappa )\,\ln(f(\theta ;\mu ,\kappa ))\,d\theta \,}$

donde es cualquier intervalo de longitud . El logaritmo de la densidad de la distribución de Von Mises es sencillo: ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle \ln(f(\theta ;\mu ,\kappa ))=-\ln(2\pi I_{0}(\kappa ))+\kappa \cos(\theta )\,}$

La representación de la función característica de la distribución de Von Mises es:

${\displaystyle f(\theta ;\mu ,\kappa )={\frac {1}{2\pi }}\left(1+2\sum _{n=1}^{\infty }\phi _{n}\cos(n\theta )\right)}$

dónde . Sustituyendo estas expresiones en la integral de entropía, intercambiando el orden de integración y suma, y ​​usando la ortogonalidad de los cosenos, la entropía se puede escribir: ${\displaystyle \phi _{n}=I_{|n|}(\kappa )/I_{0}(\kappa )}$

${\displaystyle H=\ln(2\pi I_{0}(\kappa ))-\kappa \phi _{1}=\ln(2\pi I_{0}(\kappa ))-\kappa {\frac {I_{1}(\kappa )}{I_{0}(\kappa )}}}$

Porque , la distribución de von Mises se convierte en la distribución circular uniforme y la entropía alcanza su valor máximo de . ${\displaystyle \kappa =0}$ ${\displaystyle \ln(2\pi )}$

Observe que la distribución de Von Mises maximiza la entropía cuando se especifican las partes real e imaginaria del primer momento circular ^[8] o, de manera equivalente, se especifican la media circular y la varianza circular .

Ver también

• Distribución bivariada de von Mises
• Estadísticas direccionales
• Distribución de von Mises-Fisher
• Distribución de Kent

Referencias

1. Arriesgado, H. (1989). La ecuación de Fokker-Planck . Saltador. ISBN 978-3-540-61530-9.
2. Mardia, Kantilal ; Jupp, Peter E. (1999). Estadísticas direccionales . Wiley. ISBN 978-0-471-95333-3.
3. ver Abramowitz y Stegun §9.6.34
4. Ver Abramowitz y Stegun §9.6.19
5. Borradaile, GJ (2003). Estadísticas de datos de ciencias de la tierra: su distribución en el tiempo, el espacio y la orientación . Saltador. ISBN 978-3-662-05223-5.
6. Kutil, Rade (agosto de 2012). "Estimación sesgada e insesgada de la longitud media circular resultante y su varianza". Estadísticas: una revista de estadística teórica y aplicada . 46 (4): 549–561. CiteSeerX 10.1.1.302.8395 . doi :10.1080/02331888.2010.543463. S2CID  7045090. 
7. Jammalamadaka, S. Rao; Sengupta, A. (2001). Temas de estadística circular . Compañía editorial científica mundial. ISBN 978-981-02-3778-3.
8. Jammalamadaka, S. Rao; SenGupta, A. (2001). Temas de estadística circular. Nueva Jersey: World Scientific. ISBN 981-02-3778-2. Consultado el 15 de mayo de 2011 .

Otras lecturas

• Abramowitz, M. y Stegun, IA (ed.), Manual de funciones matemáticas , Oficina Nacional de Estándares, 1964; Publicaciones de Dover reimpresas , 1965. ISBN 0-486-61272-4 
• "Algoritmo AS 86: La función de distribución de von Mises", Mardia, Applied Statistics, 24, 1975 (págs. 268-272).
• "Algoritmo 518, función de Bessel incompleta I0: la distribución de von Mises", Hill, ACM Transactions on Mathematical Software, vol. 3, núm. 3, septiembre de 1977, páginas 279–284.
• Best, D. y Fisher, N. (1979). Simulación eficiente de la distribución de von Mises. Estadística aplicada, 28, 152-157.
• Evans, M., Hastings, N. y Peacock, B., "von Mises Distribution". Cap. 41 en Distribuciones estadísticas, 3ª ed. Nueva York. Wiley 2000.
• Fisher, Nicholas I., Análisis estadístico de datos circulares. Nueva York. Cambridge 1993.
• “Distribuciones Estadísticas”, 2do. Edition, Evans, Hastings y Peacock, John Wiley and Sons , 1993, (capítulo 39). ISBN 0-471-55951-2 
• Borradaile, Graham (2003). Estadísticas de datos de ciencias de la tierra. Saltador . ISBN 978-3-540-43603-4. Consultado el 31 de diciembre de 2009 .