Viscosidad volumétrica

La viscosidad volumétrica (también llamada viscosidad volumétrica, viscosidad de segunda o viscosidad dilatacional) es una propiedad material relevante para caracterizar el flujo de fluidos. Los símbolos comunes son o . Tiene dimensiones (masa / (longitud × tiempo)) y la unidad SI correspondiente es el pascal -segundo (Pa·s). ${\displaystyle \zeta ,\mu ',\mu _{\mathrm {b} },\kappa }$ ${\displaystyle \xi }$

Al igual que otras propiedades de los materiales (por ejemplo, densidad , viscosidad de corte y conductividad térmica ), el valor de la viscosidad volumétrica es específico de cada fluido y depende además del estado del mismo, en particular de su temperatura y presión . Físicamente, la viscosidad volumétrica representa la resistencia irreversible, además de la resistencia reversible causada por el módulo volumétrico isentrópico , a la compresión o expansión de un fluido. ^[1] A nivel molecular, se deriva del tiempo finito necesario para que la energía inyectada en el sistema se distribuya entre los grados de libertad rotacional y vibracional del movimiento molecular. ^[2]

El conocimiento de la viscosidad volumétrica es importante para comprender una variedad de fenómenos de fluidos, incluida la atenuación del sonido en gases poliatómicos (por ejemplo, la ley de Stokes ), la propagación de ondas de choque y la dinámica de líquidos que contienen burbujas de gas. Sin embargo, en muchos problemas de dinámica de fluidos, su efecto puede ignorarse. Por ejemplo, es 0 en un gas monoatómico a baja densidad (a menos que el gas sea moderadamente relativista ^[3] ), mientras que en un flujo incompresible la viscosidad volumétrica es superflua ya que no aparece en la ecuación de movimiento. ^[4]

La viscosidad volumétrica fue introducida en 1879 por Sir Horace Lamb en su famosa obra Hidrodinámica . ^[5] Aunque relativamente oscura en la literatura científica en general, la viscosidad volumétrica se analiza en profundidad en muchos trabajos importantes sobre mecánica de fluidos, ^{[1] [6] [7]} acústica de fluidos, ^{[8] [9] [10] [2]} teoría de líquidos, ^{[11] [12]} reología, ^[13] e hidrodinámica relativista. ^[3]

Derivación y uso

En el equilibrio termodinámico, el tercio negativo de la traza del tensor de tensión de Cauchy a menudo se identifica con la presión termodinámica ,

${\displaystyle -{1 \over 3}\sigma _{a}^{a}=P,}$

que depende únicamente de variables del estado de equilibrio como la temperatura y la densidad ( ecuación de estado ). En general, la traza del tensor de tensión es la suma de la contribución de la presión termodinámica y otra contribución que es proporcional a la divergencia del campo de velocidad. Este coeficiente de proporcionalidad se denomina viscosidad volumétrica. Los símbolos comunes para la viscosidad volumétrica son y . ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \mu _{v}}$

La viscosidad volumétrica aparece en la ecuación clásica de Navier-Stokes si está escrita para un fluido compresible , como se describe en la mayoría de los libros sobre hidrodinámica general ^{[6] [1]} y acústica. ^{[9] [10]}

${\displaystyle \rho {\frac {D\mathbf {v} }{Dt}}=-\nabla P+\nabla \cdot \left[\mu \left(\nabla \mathbf {v} +\left(\nabla \mathbf {v} \right)^{T}-{\frac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {v} )\mathbf {I} \right)\right]+\nabla \cdot [\zeta (\nabla \cdot \mathbf {v} )\mathbf {I} ]+\rho \mathbf {g} }$

donde es el coeficiente de viscosidad de corte y es el coeficiente de viscosidad volumétrica. Los parámetros y se denominaron originalmente coeficientes de viscosidad de primera y de volumen, respectivamente. El operador es la derivada del material . Al introducir los tensores (matrices) , y (donde e es un escalar llamado dilatación , y es el tensor de identidad ), que describe el flujo de corte crudo (es decir, el tensor de velocidad de deformación ), el flujo de corte puro (es decir, la parte desviadora del tensor de velocidad de deformación, es decir, el tensor de velocidad de corte ^[14] ) y el flujo de compresión (es decir, el tensor de dilatación isotrópico), respectivamente, ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle D\mathbf {v} /Dt}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}}$ ${\displaystyle e\mathbf {I} }$ ${\displaystyle \mathbf {I} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}={\frac {1}{2}}\left(\nabla \mathbf {v} +\left(\nabla \mathbf {v} \right)^{T}\right)}$

${\displaystyle e={\frac {1}{3}}\nabla \!\cdot \!\mathbf {v} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}={\boldsymbol {\epsilon }}-e\mathbf {I} }$

La clásica ecuación de Navier-Stokes adquiere una forma lúcida.

${\displaystyle \rho {\frac {D\mathbf {v} }{Dt}}=-\nabla (P-3\zeta e)+\nabla \cdot (2\mu {\boldsymbol {\gamma }})+\rho \mathbf {g} }$

Nótese que el término en la ecuación de momento que contiene la viscosidad volumétrica desaparece para un flujo incompresible porque no hay divergencia del flujo y, por lo tanto, tampoco hay dilatación del flujo e, que es proporcional:

${\displaystyle \nabla \!\cdot \!\mathbf {v} =0}$

Así, la ecuación incompresible de Navier-Stokes se puede escribir simplemente:

${\displaystyle \rho {\frac {D\mathbf {v} }{Dt}}=-\nabla P+\nabla \cdot (2\mu {\boldsymbol {\epsilon }})+\rho \mathbf {g} }$

De hecho, nótese que para el flujo incompresible la tasa de deformación es puramente desviatoria ya que no hay dilatación ( e = 0). En otras palabras, para un flujo incompresible el componente de tensión isotrópica es simplemente la presión:

${\displaystyle p={\frac {1}{3}}Tr({\boldsymbol {\sigma }})}$

y la tensión desviadora ( de corte ) es simplemente el doble del producto entre la viscosidad de corte y la velocidad de deformación ( ley constitutiva de Newton ):

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=2\mu {\boldsymbol {\epsilon }}}$

Por lo tanto, en el flujo incompresible la viscosidad volumétrica no juega ningún papel en la dinámica del fluido.

Sin embargo, en un flujo compresible hay casos en los que , que se explican a continuación. En general, además, no es solo una propiedad del fluido en el sentido termodinámico clásico, sino que también depende del proceso, por ejemplo, la tasa de compresión/expansión. Lo mismo ocurre con la viscosidad de corte. Para un fluido newtoniano, la viscosidad de corte es una propiedad pura del fluido, pero para un fluido no newtoniano no es una propiedad pura del fluido debido a su dependencia del gradiente de velocidad. Ni la viscosidad de corte ni la viscosidad volumétrica son parámetros o propiedades de equilibrio, sino propiedades de transporte. El gradiente de velocidad y/o la tasa de compresión son, por tanto, variables independientes junto con la presión, la temperatura y otras variables de estado . ${\displaystyle \zeta \gg \mu }$ ${\displaystyle \zeta }$

La explicación de Landau

Según Landau , ^[1]

En la compresión o expansión, como en cualquier cambio rápido de estado, el fluido deja de estar en equilibrio termodinámico y se ponen en marcha en él procesos internos que tienden a restablecer este equilibrio. Estos procesos suelen ser tan rápidos (es decir, su tiempo de relajación es tan corto) que la restauración del equilibrio sigue al cambio de volumen casi inmediatamente a menos que, por supuesto, la velocidad de cambio de volumen sea muy grande.

Más adelante añade:

Puede ocurrir, sin embargo, que los tiempos de relajación de los procesos de restablecimiento del equilibrio sean largos, es decir, que se produzcan de forma comparativamente lenta.

Tras un ejemplo, concluye ( utilizando para representar la viscosidad volumétrica): ${\displaystyle \zeta }$

Por lo tanto, si el tiempo de relajación de estos procesos es largo, se produce una disipación considerable de energía cuando el fluido se comprime o se expande, y, como esta disipación debe estar determinada por la segunda viscosidad, llegamos a la conclusión de que es grande. ${\displaystyle \zeta }$

Medición

Una breve revisión de las técnicas disponibles para medir la viscosidad volumétrica de los líquidos se puede encontrar en Dukhin & Goetz ^[10] y Sharma (2019). ^[15] Uno de estos métodos es mediante el uso de un reómetro acústico .

A continuación se muestran los valores de la viscosidad volumétrica para varios líquidos newtonianos a 25 °C (expresados ​​en cP) : ^[16]

metanol - 0,8etanol - 1,4propanol - 2,7pentanol - 2,8acetona - 1,4tolueno - 7,6ciclohexanona - 7.0hexano - 2,4

Estudios recientes han determinado la viscosidad volumétrica de una variedad de gases, incluidos el dióxido de carbono , el metano y el óxido nitroso . Se descubrió que estos gases tienen viscosidades volumétricas que son cientos a miles de veces mayores que sus viscosidades de corte. ^[15] Los fluidos que tienen grandes viscosidades volumétricas incluyen aquellos utilizados como fluidos de trabajo en sistemas de energía que tienen fuentes de calor que no son combustibles fósiles, pruebas en túneles de viento y procesamiento farmacéutico.

Modelado

Existen muchas publicaciones dedicadas al modelado numérico de la viscosidad volumétrica. Se puede encontrar una revisión detallada de estos estudios en Sharma (2019) ^[15] y Cramer ^[17] . En este último estudio, se descubrió que varios fluidos comunes tenían viscosidades volumétricas que eran cientos o miles de veces mayores que sus viscosidades de corte. Para líquidos y gases relativistas, la viscosidad volumétrica se modela convenientemente en términos de una dualidad matemática con fluidos relativistas que reaccionan químicamente. ^[3]

Referencias

1. Landau, LD y Lifshitz, EM "Mecánica de fluidos", Pergamon Press , Nueva York (1959)
2. Temkin, S., "Elementos de acústica", John Wiley and Sons , NY (1981)
3. Gavassino, Lorenzo; Antonelli, Marco; Haskell, Brynmor (8 de abril de 2021). "Viscosidad volumétrica en fluidos relativistas: de la termodinámica a la hidrodinámica". Gravedad clásica y cuántica . 38 (7): 075001. arXiv : 2003.04609 . doi :10.1088/1361-6382/abe588. ISSN  0264-9381.
4. Bird, R. Byron; Stewart, Warren E.; Lightfoot, Edwin N. (2007), Fenómenos de transporte (2.ª ed.), John Wiley & Sons, Inc., pág. 19, ISBN 978-0-470-11539-8
5. Lamb, H., "Hidrodinámica", sexta edición, Dover Publications , NY (1932)
6. Happel, J. y Brenner, H. "Hidrodinámica de bajo número de Reynolds", Prentice-Hall , (1965)
7. Potter, MC, Wiggert, DC "Mecanismos de fluidos", Prentics Hall , NJ (1997)
8. Morse, PM e Ingard, KU "Acústica teórica", Princeton University Press (1968)
9. Litovitz, TA y Davis, CM En "Acústica física", Ed. WPMason, vol. 2, capítulo 5, Academic Press , NY, (1964)
10. Dukhin, AS y Goetz, PJ Caracterización de líquidos, nanopartículas y micropartículas y cuerpos porosos mediante ultrasonido , Elsevier, 2017 ISBN 978-0-444-63908-0 
11. Kirkwood, JG, Buff, FP, Green, MS, "La teoría mecánica estadística de los procesos de transporte. 3. Los coeficientes de cizallamiento y viscosidad volumétrica en líquidos", J. Chemical Physics, 17, 10, 988-994, (1949)
12. Enskog, D. "Kungliga Svenska Vetenskapsakademiens Handlingar", 63, 4, (1922)
13. Graves, RE y Argrow, BM "Viscosidad a granel: del pasado al presente", Journal of Thermophysics and Heat Transfer , 13, 3, 337–342 (1999)
14. ver también Fluido newtoniano generalizado
15. Sharma, B y Kumar, R "Estimación de la viscosidad en masa de gases diluidos utilizando un enfoque de dinámica molecular sin equilibrio". Physical Review E , 100, 013309 (2019)
16. Dukhin, Andrei S.; Goetz, Philip J. (2009). "Medición de la viscosidad y compresibilidad mediante espectroscopia acústica". The Journal of Chemical Physics . 130 (12): 124519. Bibcode :2009JChPh.130l4519D. doi :10.1063/1.3095471. ISSN  0021-9606. PMID  19334863.
17. Cramer, MS "Estimaciones numéricas de la viscosidad en masa de gases ideales", Phys. Fluids , 24, 066102 (2012)

• IUPAC , Compendio de terminología química , 2.ª ed. (el "Libro de oro") (1997). Versión corregida en línea: (2006–) "viscosidad volumétrica (o viscosidad dilatacional)". doi :10.1351/goldbook.V06650
• R. Byron Bird. Fenómeno del transporte . 2.ª edición. pág. 19.