vector h

En combinatoria algebraica , el h -vector de un politopo simplicial es un invariante fundamental del politopo que codifica el número de caras de diferentes dimensiones y permite expresar las ecuaciones de Dehn-Sommerville en una forma particularmente simple. Peter McMullen ^[1] conjeturó una caracterización del conjunto de h -vectores de politopos simpliciales y Lou Billera y Carl W. Lee ^{[2] [3]} y Richard Stanley ^[4] la demostraron ( teorema g ). La definición de h -vector se aplica a complejos simpliciales abstractos arbitrarios . La conjetura g afirmó que para esferas simpliciales , todos los h -vectores posibles ya se encuentran entre los h -vectores de los límites de politopos simpliciales convexos. Karim Adiprasito la demostró en diciembre de 2018. [ ^{5] [6]}

Stanley introdujo una generalización del h -vector, el h -vector tórico , que se define para un conjunto ordenado arbitrario , y demostró que para la clase de conjuntos ordenados de Euler , las ecuaciones de Dehn-Sommerville siguen siendo válidas. ^{[ cita requerida ]} Una generalización diferente, más combinatoria, del h -vector que se ha estudiado ampliamente es el h -vector bandera de un conjunto ordenado. Para los conjuntos ordenados de Euler, se puede expresar de forma más concisa por medio de un polinomio no conmutativo en dos variables llamado cd -index .

Definición

Sea Δ un complejo simplicial abstracto de dimensión d − 1 con f _i caras i -dimensionales y f ₋₁ = 1. Estos números se organizan en el f -vector de Δ,

${\displaystyle f(\Delta )=(f_{-1},f_{0},\ldots ,f_{d-1}).}$

Un caso especial importante ocurre cuando Δ es el límite de un politopo convexo de dimensión d .

Para k = 0, 1, …, d , sea

${\displaystyle h_{k}=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{k-i}{\binom {d-i}{k-i}}f_{i-1}.}$

La tupla

${\displaystyle h(\Delta )=(h_{0},h_{1},\ldots ,h_{d})}$

se llama el h -vector de Δ. En particular, , , y , donde es la característica de Euler de . El f -vector y el h -vector se determinan entre sí de forma única a través de la relación lineal ${\displaystyle h_{0}=1}$ ${\displaystyle h_{1}=f_{0}-d}$ ${\displaystyle h_{d}=(-1)^{d}(1-\chi (\Delta ))}$ ${\displaystyle \chi (\Delta )}$ ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{d}f_{i-1}(t-1)^{d-i}=\sum _{k=0}^{d}h_{k}t^{d-k},}$

de lo cual se sigue que, para , ${\displaystyle i=0,\dotsc ,d}$

${\displaystyle f_{i-1}=\sum _{k=0}^{i}{\binom {d-k}{i-k}}h_{k}.}$

En particular, . Sea R = k [Δ] el anillo de Stanley-Reisner de Δ. Entonces su serie de Hilbert-Poincaré se puede expresar como ${\displaystyle f_{d-1}=h_{0}+h_{1}+\dotsb +h_{d}}$

${\displaystyle P_{R}(t)=\sum _{i=0}^{d}{\frac {f_{i-1}t^{i}}{(1-t)^{i}}}={\frac {h_{0}+h_{1}t+\cdots +h_{d}t^{d}}{(1-t)^{d}}}.}$

Esto motiva la definición del vector h de un álgebra graduada positiva finitamente generada de dimensión de Krull d como el numerador de su serie de Hilbert-Poincaré escrita con el denominador (1 −  t ) ^d .

El vector h está estrechamente relacionado con el vector h ^* de un politopo reticular convexo, véase polinomio de Ehrhart .

Relación de recurrencia

El -vector se puede calcular a partir del -vector utilizando la relación de recurrencia ${\displaystyle \textstyle h}$ ${\displaystyle (h_{0},h_{1},\dotsc ,h_{d})}$ ${\displaystyle \textstyle f}$ ${\displaystyle (f_{-1},f_{0},\dotsc ,f_{d-1})}$

${\displaystyle h_{0}^{i}=1,\qquad -1\leq i\leq d}$

${\displaystyle h_{i+1}^{i}=f_{i},\qquad -1\leq i\leq d-1}$

${\displaystyle h_{k}^{i}=h_{k}^{i-1}-h_{k-1}^{i-1},\qquad 1\leq k\leq i\leq d}$.

y finalmente estableciendo para . Para ejemplos pequeños, se puede usar este método para calcular vectores rápidamente a mano llenando recursivamente las entradas de una matriz similar al triángulo de Pascal . Por ejemplo, considere el complejo de contorno de un octaedro . El vector de es . Para calcular el vector de , construya una matriz triangular escribiendo primero s en el borde izquierdo y el vector en el borde derecho. ${\displaystyle \textstyle h_{k}=h_{k}^{d}}$ ${\displaystyle \textstyle 0\leq k\leq d}$ ${\displaystyle \textstyle h}$ ${\displaystyle \textstyle \Delta }$ ${\displaystyle \textstyle f}$ ${\displaystyle \textstyle \Delta }$ ${\displaystyle \textstyle (1,6,12,8)}$ ${\displaystyle \textstyle h}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle d+2}$ ${\displaystyle \textstyle 1}$ ${\displaystyle \textstyle f}$

${\displaystyle {\begin{matrix}&&&&1&&&\\&&&1&&6&&\\&&1&&&&12&\\&1&&&&&&8\\1&&&&&&&&0\end{matrix}}}$

(Lo hemos configurado simplemente para que la matriz sea triangular). Luego, comenzando desde arriba, completamos cada entrada restante restando su vecino superior izquierdo de su vecino superior derecho. De esta manera, generamos la siguiente matriz: ${\displaystyle f_{d}=0}$

${\displaystyle {\begin{matrix}&&&&1&&&\\&&&1&&6&&\\&&1&&5&&12&\\&1&&4&&7&&8\\1&&3&&3&&1&&0\end{matrix}}}$

Las entradas de la fila inferior (aparte de la última ) son las entradas del vector . Por lo tanto, el vector de es . ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \textstyle h}$ ${\displaystyle \textstyle h}$ ${\displaystyle \textstyle \Delta }$ ${\displaystyle \textstyle (1,3,3,1)}$

Tóricoyo-vector

A un conjunto arbitrario graduado P , Stanley asoció un par de polinomios f ( P , x ) y g ( P , x ). Su definición es recursiva en términos de los polinomios asociados a intervalos [0, y ] para todos los y ∈ P , y ≠ 1, vistos como conjuntos ordenados de rango inferior (0 y 1 denotan los elementos mínimo y máximo de P ). Los coeficientes de f ( P , x ) forman el h -vector tórico de P . Cuando P es un conjunto euleriano de rango d + 1 tal que P − 1 es simplicial, el h -vector tórico coincide con el h -vector ordinario construido usando los números f _i de elementos de P − 1 de rango dado i + 1. En este caso, el h -vector tórico de P satisface las ecuaciones de Dehn-Sommerville

${\displaystyle h_{k}=h_{d-k}.}$

La razón del adjetivo "tórico" es una conexión del vector h tórico con la cohomología de intersección de una determinada variedad tórica proyectiva X siempre que P sea el complejo de contorno de un politopo convexo racional. Es decir, los componentes son las dimensiones de los grupos de cohomología de intersección pares de X :

${\displaystyle h_{k}=\dim _{\mathbb {Q} }\operatorname {IH} ^{2k}(X,\mathbb {Q} )}$

(los grupos de cohomología de intersección impares de X son todos cero). Las ecuaciones de Dehn–Sommerville son una manifestación de la dualidad de Poincaré en la cohomología de intersección de X. Kalle Karu demostró que el h -vector tórico de un politopo es unimodal, independientemente de si el politopo es racional o no. ^[7]

Banderayo-vector ycd-índice

Se ha estudiado ampliamente una generalización diferente de las nociones de f -vector y h -vector de un politopo convexo. Sea un conjunto ordenado finito de rango n , de modo que cada cadena máxima en tiene longitud n . Para cualquier , un subconjunto de , sea el número de cadenas en cuyos rangos constituyen el conjunto . Más formalmente, sea ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \left\{0,\ldots ,n\right\}}$ ${\displaystyle \alpha _{P}(S)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle rk:P\to \{0,1,\ldots ,n\}}$

sea ​​la función de rango de y sea el subconjunto seleccionado de rango , que consta de los elementos cuyo rango está en : ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P_{S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle P_{S}=\{x\in P:rk(x)\in S\}.}$

Entonces, el número de cadenas máximas es y la función ${\displaystyle \alpha _{P}(S)}$ ${\displaystyle P_{S}}$

${\displaystyle S\mapsto \alpha _{P}(S)}$

se llama f -vector bandera de P . La función

${\displaystyle S\mapsto \beta _{P}(S),\quad \beta _{P}(S)=\sum _{T\subseteq S}(-1)^{|S|-|T|}\alpha _{P}(S)}$

se llama vector bandera h de . Por el principio de inclusión-exclusión , ${\displaystyle P}$

${\displaystyle \alpha _{P}(S)=\sum _{T\subseteq S}\beta _{P}(T).}$

Los vectores f y h de la bandera refinan los vectores f y h ordinarios de su orden complejo : ^[8] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Delta (P)}$

${\displaystyle f_{i-1}(\Delta (P))=\sum _{|S|=i}\alpha _{P}(S),\quad h_{i}(\Delta (P))=\sum _{|S|=i}\beta _{P}(S).}$

El vector h de la bandera se puede mostrar mediante un polinomio en las variables no conmutativas a y b . Para cualquier subconjunto de {1,…, n }, defina el monomio correspondiente en a y b , ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle u_{S}=u_{1}\cdots u_{n},\quad u_{i}=a{\text{ for }}i\notin S,u_{i}=b{\text{ for }}i\in S.}$

Entonces la función generadora no conmutativa para el vector bandera h de P se define por

${\displaystyle \Psi _{P}(a,b)=\sum _{S}\beta _{P}(S)u_{S}.}$

A partir de la relación entre α _P ( S ) y β _P ( S ), la función generadora no conmutativa para el f -vector de P es

${\displaystyle \Psi _{P}(a,a+b)=\sum _{S}\alpha _{P}(S)u_{S}.}$

Margaret Bayer y Louis Billera determinaron las relaciones lineales más generales que se mantienen entre los componentes del vector h de la bandera de un conjunto poseriano P. ^[9 ]

Fine señaló una forma elegante de enunciar estas relaciones: existe un polinomio no conmutativo Φ _P ( c , d ), llamado el índice cd de P , tal que

${\displaystyle \Psi _{P}(a,b)=\Phi _{P}(a+b,ab+ba).}$

Stanley demostró que todos los coeficientes del índice cd del complejo de contorno de un politopo convexo son no negativos. Conjeturó que este fenómeno de positividad persiste para una clase más general de conjuntos de elementos eulerianos que Stanley llama complejos de Gorenstein* y que incluye esferas simpliciales y abanicos completos. Esta conjetura fue demostrada por Kalle Karu. ^[10] El significado combinatorio de estos coeficientes no negativos (una respuesta a la pregunta "¿qué cuentan?") sigue sin estar claro.

Referencias

1. McMullen, Peter (1971), "El número de caras de politopos simples", Israel Journal of Mathematics , 9 (4): 559–570, doi :10.1007/BF02771471, MR  0278183, S2CID  92984501.
2. Billera, Louis ; Lee, Carl (1980), "Suficiencia de las condiciones de McMullen para f-vectores de politopos simpliciales", Boletín de la Sociedad Matemática Americana , 2 (1): 181–185, doi : 10.1090/s0273-0979-1980-14712-6 , MR  0551759.
3. Billera, Louis ; Lee, Carl (1981), "Una prueba de la suficiencia de las condiciones de McMullen para f-vectores de politopos convexos simpliciales", Journal of Combinatorial Theory, Serie A , 31 (3): 237–255, doi : 10.1016/0097-3165(81)90058-3.
4. Stanley, Richard (1980), "El número de caras de un politopo convexo simple", Advances in Mathematics , 35 (3): 236–238, doi : 10.1016/0001-8708(80)90050-X , MR  0563925.
5. Kalai, Gil (25 de diciembre de 2018). «Increíble: ¡Karim Adiprasito demostró la conjetura g para esferas!». Combinatoria y más . Consultado el 12 de junio de 2019 .
6. Adiprasito, Karim (26 de diciembre de 2018). "Teoremas combinatorios de Lefschetz más allá de la positividad". arXiv : 1812.10454v3 [math.CO].
7. Karu, Kalle (1 de agosto de 2004). "Teorema duro de Lefschetz para politopos no racionales". Invenciones Mathematicae . 157 (2): 419–447. arXiv : matemáticas/0112087 . Código Bib : 2004 InMat.157..419K. doi :10.1007/s00222-004-0358-3. ISSN  1432-1297. S2CID  15896309.
8. Stanley, Richard (1979), "Complejos Cohen-Macaulay equilibrados", Transacciones de la American Mathematical Society , 249 (1): 139–157, doi : 10.2307/1998915 , JSTOR  1998915.
9. Bayer, Margaret M. y Billera, Louis J (1985), "Relaciones de Dehn-Sommerville generalizadas para politopos, esferas y conjuntos parcialmente ordenados eulerianos", Inventiones Mathematicae 79 : 143-158. doi:10.1007/BF01388660.
10. Karu, Kalle (2006), "El índice de CD de fans y posets", Compositio Mathematica , 142 (3): 701–718, doi : 10.1112/S0010437X06001928 , MR  2231198.

Lectura adicional

• Stanley, Richard (1996), Combinatoria y álgebra conmutativa , Progress in Mathematics, vol. 41 (2.ª ed.), Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc., ISBN 0-8176-3836-9.
• Stanley, Richard (1997), Combinatoria enumerativa, vol. 1, Cambridge University Press, ISBN 0-521-55309-1.