En geometría algebraica , una variedad de Schubert es una subvariedad determinada de un Grassmanniano , de subespacios de dimensión 1 de un espacio vectorial , habitualmente con puntos singulares . Al igual que el Grassmanniano, es un tipo de espacio de módulos , cuyos elementos satisfacen condiciones que dan límites inferiores a las dimensiones de las intersecciones de sus elementos , con los elementos de un campo completo especificado. Aquí puede haber un espacio vectorial sobre un cuerpo arbitrario , pero lo más común es que se tome como los números reales o complejos .
Un ejemplo típico es el conjunto de subespacios -dimensionales de un espacio de 4 dimensiones que intersecan un subespacio bidimensional fijo (de referencia) de manera no trivial.
Sobre el cuerpo de números reales , esto puede representarse en el espacio xyz habitual de la siguiente manera. Reemplazando los subespacios con sus espacios proyectivos correspondientes e intersectando con un parche de coordenadas afín de , obtenemos un subconjunto abierto X ° ⊂ X . Este es isomorfo al conjunto de todas las líneas L (no necesariamente a través del origen) que cortan el eje x . Cada una de esas líneas L corresponde a un punto de X °, y mover continuamente L en el espacio (mientras mantiene contacto con el eje x ) corresponde a una curva en X °. Dado que hay tres grados de libertad en el movimiento de L (mover el punto en el eje x , rotar e inclinar), X es una variedad algebraica real tridimensional . Sin embargo, cuando L es igual al eje x , puede rotarse o inclinarse alrededor de cualquier punto en el eje, y este exceso de movimientos posibles hace de L un punto singular de X .
De manera más general, una variedad de Schubert en se define especificando la dimensión mínima de la intersección de un subespacio -dimensional con cada uno de los espacios en una bandera completa de referencia fija , donde . (En el ejemplo anterior, esto significaría requerir ciertas intersecciones de la línea L con el eje x y el plano xy ).
En una generalidad aún mayor, dado un grupo algebraico semisimple con un subgrupo de Borel y un subgrupo parabólico estándar , se sabe que el espacio homogéneo , que es un ejemplo de una variedad bandera , consiste en un número finito de -órbitas, que pueden estar parametrizadas por ciertos elementos del grupo de Weyl . El cierre de la -órbita asociada a un elemento se denota y se llama variedad de Schubert en . El caso clásico corresponde a , con , el ésimo subgrupo parabólico maximalista de , de modo que es el Grassmanniano de -planos en .
Las variedades de Schubert forman una de las clases más importantes y mejor estudiadas de variedades algebraicas singulares . Una cierta medida de singularidad de las variedades de Schubert la proporcionan los polinomios de Kazhdan–Lusztig , que codifican su cohomología de intersección local de Goresky–MacPherson .
Las álgebras de funciones regulares sobre variedades de Schubert tienen una profunda importancia en la combinatoria algebraica y son ejemplos de álgebras con una ley de enderezamiento . La (co)homología del Grassmanniano, y más generalmente, de variedades bandera más generales, tiene una base que consiste en las clases de (co)homología de variedades de Schubert, o ciclos de Schubert . El estudio de la teoría de la intersección sobre el Grassmanniano fue iniciado por Hermann Schubert y continuado por Zeuthen en el siglo XIX bajo el título de geometría enumerativa . David Hilbert consideró que esta área era lo suficientemente importante como para ser incluida como el decimoquinto de sus célebres 23 problemas . El estudio continuó en el siglo XX como parte del desarrollo general de la topología algebraica y la teoría de la representación , pero se aceleró en la década de 1990 a partir del trabajo de William Fulton sobre los lugares de degeneración y los polinomios de Schubert , siguiendo las investigaciones anteriores de Bernstein - Gelfand -Gelfand y Demazure en la teoría de la representación en la década de 1970, Lascoux y Schützenberger en combinatoria en la década de 1980, y Fulton y MacPherson en la teoría de la intersección de variedades algebraicas singulares, también en la década de 1980.
