Polinomio de Schubert

En matemáticas, los polinomios de Schubert son generalizaciones de los polinomios de Schur que representan clases de cohomología de los ciclos de Schubert en variedades bandera . Fueron introducidos por Lascoux y Schützenberger (1982) y llevan el nombre de Hermann Schubert .

Fondo

Lascoux (1995) describió la historia de los polinomios de Schubert.

Los polinomios de Schubert son polinomios cuyas variables dependen de un elemento del grupo simétrico infinito de todas las permutaciones de la fijación de todos los elementos, salvo un número finito. Forman una base para el anillo de polinomios con infinitas variables. ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w}}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle S_{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [x_{1},x_{2},\ldots ]}$

La cohomología de la variedad bandera es donde es el ideal generado por funciones simétricas homogéneas de grado positivo. El polinomio de Schubert es el único polinomio homogéneo de grado que representa el ciclo de Schubert de en la cohomología de la variedad bandera para todos los suficientemente grandes ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle {\text{Fl}}(m)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m}]/I,}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w}}$ ${\displaystyle \ell (w)}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle {\text{Fl}}(m)}$ ${\displaystyle m.}$

Propiedades

• Si es la permutación de longitud más larga en entonces ${\displaystyle w_{0}}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w_{0}}=x_{1}^{n-1}x_{2}^{n-2}\cdots x_{n-1}^{1}}$

• ${\displaystyle \partial _{i}{\mathfrak {S}}_{w}={\mathfrak {S}}_{ws_{i}}}$si , donde es la transposición y donde es el operador de diferencia dividida que toma a . ${\displaystyle w(i)>w(i+1)}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle (i,i+1)}$ ${\displaystyle \partial _{i}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (P-s_{i}P)/(x_{i}-x_{i+1})}$

Los polinomios de Schubert se pueden calcular de forma recursiva a partir de estas dos propiedades. En particular, esto implica que . ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w}=\partial _{w^{-1}w_{0}}x_{1}^{n-1}x_{2}^{n-2}\cdots x_{n-1}^{1}}$

Otras propiedades son

• ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{id}=1}$

• Si es la transposición , entonces . ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle (i,i+1)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{s_{i}}=x_{1}+\cdots +x_{i}}$

• Si para todo , entonces es el polinomio de Schur donde es la partición . En particular, todos los polinomios de Schur (de un número finito de variables) son polinomios de Schubert. ${\displaystyle w(i)<w(i+1)}$ ${\displaystyle i\neq r}$ ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w}}$ ${\displaystyle s_{\lambda }(x_{1},\ldots ,x_{r})}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle (w(r)-r,\ldots ,w(2)-2,w(1)-1)}$

• Los polinomios de Schubert tienen coeficientes positivos. Richard P. Stanley propuso una regla conjetural para sus coeficientes , que se demostró en dos artículos, uno de Sergey Fomin y Stanley y otro de Sara Billey , William Jockusch y Stanley.

• Los polinomios de Schubert pueden verse como una función generadora sobre ciertos objetos combinatorios llamados "tuberías" o "grafos rc" . Estos están en biyección con caras reducidas de Kogan (introducidas en la tesis doctoral de Mikhail Kogan), que son caras especiales del politopo de Gelfand-Tsetlin.

• Los polinomios de Schubert también pueden escribirse como una suma ponderada de objetos llamados " sueños imposibles" .

Como ejemplo

${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{24531}(x)=x_{1}x_{3}^{2}x_{4}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}x_{3}x_{4}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}x_{3}^{2}x_{4}x_{2}.}$

Constantes de estructura multiplicativa

Dado que los polinomios de Schubert forman una base , existen coeficientes únicos tales que ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle c_{\beta \gamma }^{\alpha }}$

${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{\beta }{\mathfrak {S}}_{\gamma }=\sum _{\alpha }c_{\beta \gamma }^{\alpha }{\mathfrak {S}}_{\alpha }.}$

Estos pueden verse como una generalización de los coeficientes de Littlewood-Richardson descritos por la regla de Littlewood-Richardson . Por razones algebro-geométricas ( teorema de transversalidad de Kleiman de 1974 ), estos coeficientes son números enteros no negativos y es un problema pendiente en la teoría de la representación y la combinatoria dar una regla combinatoria para estos números.

Polinomios de Schubert dobles

Los polinomios de Schubert dobles son polinomios en dos conjuntos infinitos de variables, parametrizados por un elemento w del grupo simétrico infinito, que se convierten en los polinomios de Schubert habituales cuando todas las variables son . ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w}(x_{1},x_{2},\ldots ,y_{1},y_{2},\ldots )}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle 0}$

Los polinomios dobles de Schubert se caracterizan por las propiedades ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w}(x_{1},x_{2},\ldots ,y_{1},y_{2},\ldots )}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w}(x_{1},x_{2},\ldots ,y_{1},y_{2},\ldots )=\prod \limits _{i+j\leq n}(x_{i}-y_{j})}$¿Cuándo es la permutación de mayor longitud? ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle 1,\ldots ,n}$

• ${\displaystyle \partial _{i}{\mathfrak {S}}_{w}={\mathfrak {S}}_{ws_{i}}}$si ${\displaystyle w(i)>w(i+1).}$

Los polinomios dobles de Schubert también se pueden definir como

${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w}(x,y)=\sum _{w=v^{-1}u{\text{ and }}\ell (w)=\ell (u)+\ell (v)}{\mathfrak {S}}_{u}(x){\mathfrak {S}}_{v}(-y).}$

Polinomios cuánticos de Schubert

Fomin, Gelfand y Postnikov (1997) introdujeron los polinomios cuánticos de Schubert, que tienen la misma relación con la cohomología cuántica (pequeña) de las variedades bandera que los polinomios de Schubert ordinarios tienen con la cohomología ordinaria.

Polinomios universales de Schubert

Fulton (1999) introdujo los polinomios universales de Schubert, que generalizan los polinomios clásicos y cuánticos de Schubert. También describió los polinomios universales dobles de Schubert que generalizan los polinomios dobles de Schubert.

Véase también

• Función simétrica de Stanley
• Polinomio de Constant
• La fórmula de Monk da el producto de un polinomio lineal de Schubert y un polinomio de Schubert.
• Álgebra de Nil-Coxeter

Referencias

• Bernstein, IN ; Gelfand, IM ; Gelfand, SI (1973), "Células de Schubert y la cohomología de los espacios G/P", Russian Math. Surveys , 28 (3): 1–26, Bibcode :1973RuMaS..28....1B, doi :10.1070/RM1973v028n03ABEH001557, S2CID  800432
• Fomin, Sergey ; Gelfand, Sergei; Postnikov, Alexander (1997), "Polinomios cuánticos de Schubert", Journal of the American Mathematical Society , 10 (3): 565–596, doi : 10.1090/S0894-0347-97-00237-3 , ISSN  0894-0347, MR  1431829
• Fulton, William (1992), "Banderas, polinomios de Schubert, lugares de degeneración y fórmulas determinantes", Duke Mathematical Journal , 65 (3): 381–420, doi :10.1215/S0012-7094-92-06516-1, ISSN  0012-7094, MR  1154177
• Fulton, William (1997), Cuadros jóvenes , Textos para estudiantes de la London Mathematical Society, vol. 35, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-56144-0, Sr.  1464693
• Fulton, William (1999), "Polinomios universales de Schubert", Duke Mathematical Journal , 96 (3): 575–594, arXiv : alg-geom/9702012 , doi :10.1215/S0012-7094-99-09618-7, ISSN  0012-7094, MR  1671215, S2CID  10546579
• Lascoux, Alain (1995), "Polynômes de Schubert: une approche historique", Matemáticas discretas , 139 (1): 303–317, doi : 10.1016/0012-365X(95)93984-D , ISSN  0012-365X, SEÑOR  1336845
• Lascoux, Alain ; Schützenberger, Marcel-Paul (1982), "Polynômes de Schubert", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 294 (13): 447–450, ISSN  0249-6291, SEÑOR  0660739
• Lascoux, Alain ; Schützenberger, Marcel-Paul (1985), "Polinomios de Schubert y la regla de Littlewood-Richardson", Letters in Mathematical Physics. Una revista para la rápida difusión de contribuciones breves en el campo de la física matemática , 10 (2): 111–124, Bibcode :1985LMaPh..10..111L, doi :10.1007/BF00398147, ISSN  0377-9017, MR  0815233, S2CID  119654656
• Macdonald, IG (1991), "Schubert polynomials", en Keedwell, AD (ed.), Surveys in combinatorics, 1991 (Guildford, 1991), London Math. Soc. Lecture Note Ser., vol. 166, Cambridge University Press , págs. 73–99, ISBN 978-0-521-40766-3, Sr.  1161461
• Macdonald, IG (1991b), Notas sobre los polinomios de Schubert, Publications du Laboratoire de combinatoire et d'informatique mathématique, vol. 6, Laboratoire de combinatoire et d'informatique mathématique (LACIM), Université du Québec a Montréal, ISBN 978-2-89276-086-6
• Manivel, Laurent (2001) [1998], Funciones simétricas, polinomios de Schubert y lugares de degeneración, SMF/AMS Texts and Monographs, vol. 6, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2154-1, Sr.  1852463
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