En matemáticas , una variedad de Severi-Brauer sobre un cuerpo K es una variedad algebraica V que se vuelve isomorfa a un espacio proyectivo sobre un cierre algebraico de K. Las variedades están asociadas a álgebras simples centrales de tal manera que el álgebra se divide sobre K si y solo si la variedad tiene un punto racional sobre K. [1] Francesco Severi (1932) estudió estas variedades, y también se las nombra en honor a Richard Brauer debido a su estrecha relación con el grupo de Brauer .
En dimensión uno, las variedades de Severi–Brauer son cónicas . Las álgebras simples centrales correspondientes son las álgebras de cuaterniones . El álgebra ( a , b ) K corresponde a la cónica C ( a , b ) con ecuación
y el álgebra ( a , b ) K se divide , es decir, ( a , b ) K es isomorfa a un álgebra matricial sobre K , si y sólo si C ( a , b ) tiene un punto definido sobre K : esto a su vez es equivalente a que C ( a , b ) sea isomorfa a la línea proyectiva sobre K . [1] [2]
Estas variedades son de interés no sólo en geometría diofántica , sino también en cohomología de Galois . Representan (al menos si K es un cuerpo perfecto ) clases de cohomología de Galois en H 1 (G(K s /K),PGL n ), donde PGL n es el grupo lineal proyectivo y n es uno más que la dimensión de la variedad V. Como es habitual en la cohomología de Galois, a menudo dejamos lo implícito. Hay una secuencia exacta corta
de grupos algebraicos . Esto implica un homomorfismo conexo
a nivel de cohomología. Aquí H 2 (GL 1 ) se identifica con el grupo de Brauer de K , mientras que el núcleo es trivial porque H 1 (GL n ) = {1} por una extensión del Teorema 90 de Hilbert . [3] [4] Por lo tanto, las variedades de Severi–Brauer pueden representarse fielmente mediante elementos del grupo de Brauer, es decir, clases de álgebras simples centrales .
Lichtenbaum demostró que si X es una variedad de Severi-Brauer sobre K , entonces existe una secuencia exacta
Aquí el mapa δ envía 1 a la clase Brauer correspondiente a X. [2]
Como consecuencia, vemos que si la clase de X tiene orden d en el grupo de Brauer entonces hay una clase divisora de grado d en X . El sistema lineal asociado define la incrustación d -dimensional de X sobre un campo de división L . [5]
