Caracterizaciones de la función exponencial

Concepto matemático

En matemáticas , la función exponencial se puede caracterizar de muchas maneras. En este artículo se presentan algunas caracterizaciones comunes, se analiza por qué cada una tiene sentido y se demuestra que todas son equivalentes .

La función exponencial se da de forma natural en muchas ramas de las matemáticas. Walter Rudin la llamó "la función más importante de las matemáticas". ^[1] Por lo tanto, es útil tener múltiples formas de definirla (o caracterizarla). Cada una de las caracterizaciones que se presentan a continuación puede ser más o menos útil según el contexto. La caracterización del "límite del producto" de la función exponencial fue descubierta por Leonhard Euler . ^[2]

Caracterizaciones

Las seis definiciones más comunes de la función exponencial para valores reales son las siguientes. ${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

1. Límite del producto. Definir por límite : ${\displaystyle e^{x}}$ $${\displaystyle e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$$
2. Serie de potencias. Definamos e ^x como el valor de la serie infinita (aquí n ! denota el factorial de n . Una prueba de que e es irracional utiliza un caso especial de esta fórmula). $${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots }$$
3. Inversa de la integral logarítmica. Se define como el único número y > 0 tal que Es decir, es la inversa de la función logaritmo natural , que se define mediante esta integral. ${\displaystyle e^{x}}$ $${\displaystyle \int _{1}^{y}{\frac {dt}{t}}=x.}$$ ${\displaystyle e^{x}}$ ${\displaystyle x=\ln(y)}$
4. Ecuación diferencial. Definir como la única solución de la ecuación diferencial con valor inicial : donde denota la derivada de y . ${\displaystyle y(x)=e^{x}}$ $${\displaystyle y'=y,\quad y(0)=1,}$$ ${\displaystyle y'={\tfrac {dy}{dx}}}$
5. Ecuación funcional. La función exponencial es la única función f con propiedad multiplicativa para todos y . La condición puede sustituirse por junto con cualquiera de las siguientes condiciones de regularidad: ${\displaystyle e^{x}}$ ${\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y)}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle f'(0)=1}$ ${\displaystyle f'(0)=1}$ ${\displaystyle f(1)=e}$
   • f es medible mediante el método de Lebesgue (Hewitt y Stromberg, 1965, ejercicio 18.46).
   • f es continua en cualquier punto (Rudin, 1976, capítulo 8, ejercicio 6).
   • f aumenta en cualquier intervalo .
   Para la unicidad se debe imponer alguna condición de regularidad, ya que se pueden construir otras funciones que la satisfagan utilizando como base los números reales sobre los racionales , como describen Hewitt y Stromberg. ${\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y)}$
6. Definición elemental por potencias. Definimos la función exponencial con base como la función continua cuyo valor en números enteros está dado por la multiplicación o división repetida de , y cuyo valor en números racionales está dado por . Luego definimos como la función exponencial cuya base es el único número real positivo que satisface: ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle a^{x}}$ ${\displaystyle x=n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x=n/m}$ ${\displaystyle a^{n/m}=\ \ {\sqrt[{m}]{{\vphantom {A^{2}}}a^{n}}}}$ ${\displaystyle e^{x}}$ ${\displaystyle a=e}$ $${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {e^{h}-1}{h}}=1.}$$

Dominios más grandes

Una forma de definir la función exponencial sobre los números complejos es primero definirla para el dominio de los números reales usando una de las caracterizaciones anteriores, y luego extenderla como una función analítica , que se caracteriza por sus valores en cualquier conjunto de dominio infinito.

Además, las caracterizaciones (1), (2) y (4) para se aplican directamente para un número complejo. La definición (3) presenta un problema porque hay caminos no equivalentes a lo largo de los cuales uno podría integrar; pero la ecuación de (3) debería ser válida para cualquier camino de ese tipo módulo . En cuanto a la definición (5), la propiedad aditiva junto con la derivada compleja son suficientes para garantizar . Sin embargo, la condición de valor inicial junto con las otras condiciones de regularidad no son suficientes. Por ejemplo, para x e y reales , la función satisface las tres condiciones de regularidad enumeradas en (5) pero no es igual a . Una condición suficiente es que y que es una función conforme en algún punto; o bien los dos valores iniciales y junto con las otras condiciones de regularidad. ${\displaystyle e^{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle f'(0)=1}$ ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ ${\displaystyle f(1)=e}$ $${\displaystyle f(x+iy)=e^{x}(\cos(2y)+i\sin(2y))=e^{x+2iy}}$$ ${\displaystyle \exp(x+iy)}$ ${\displaystyle f(1)=e}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(1)=e}$ ${\textstyle f(i)=\cos(1)+i\sin(1)}$

También se puede definir la exponencial en otros dominios, como matrices y otras álgebras . Las definiciones (1), (2) y (4) tienen sentido para álgebras de Banach arbitrarias .

Prueba de que cada caracterización tiene sentido

Algunas de estas definiciones requieren justificación para demostrar que están bien definidas . Por ejemplo, cuando el valor de la función se define como el resultado de un proceso limitante (es decir, una secuencia o serie infinita ), se debe demostrar que dicho límite siempre existe.

Caracterización 1

El error de la expresión del límite del producto se describe por: donde el grado del polinomio (en x ) en el término con denominador n ^k es 2 k . $${\displaystyle \left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}=e^{x}\left(1-{\frac {x^{2}}{2n}}+{\frac {x^{3}(8+3x)}{24n^{2}}}+\cdots \right),}$$

Caracterización 2

Dado que de la prueba de razón se deduce que converge para todo x . $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {x^{n+1}/(n+1)!}{x^{n}/n!}}\right|=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {x}{n+1}}\right|=0<1.}$$ ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$

Caracterización 3

Como el integrando es una función integrable de t , la expresión integral está bien definida. Debe demostrarse que la función de a definida por es una biyección . Como 1/ t es positivo para t positivo , esta función es estrictamente creciente , por lo tanto inyectiva . Si las dos integrales se cumplen, entonces también es sobreyectiva . De hecho, estas integrales se cumplen; se deducen de la prueba integral y de la divergencia de la serie armónica . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle x\mapsto \int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{1}^{\infty }{\frac {dt}{t}}&=\infty \\[8pt]\int _{1}^{0}{\frac {dt}{t}}&=-\infty \end{aligned}}}$$

Caracterización 6

La definición depende del único número real positivo que satisface: Se puede demostrar que este límite existe para cualquier , y define una función creciente continua con y , por lo que el teorema del valor intermedio garantiza la existencia de dicho valor . ${\displaystyle a=e}$ $${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {a^{h}-1}{h}}=1.}$$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f(a)=\ln(a)}$ ${\displaystyle f(1)=0}$ ${\displaystyle \lim _{a\to \infty }f(a)=\infty }$ ${\displaystyle a=e}$

Equivalencia de las caracterizaciones

Los siguientes argumentos demuestran la equivalencia de las caracterizaciones anteriores para la función exponencial.

Caracterización 1 ⇔ caracterización 2

El siguiente argumento está adaptado de Rudin, teorema 3.31, págs. 63–65.

Sea un número real fijo no negativo. Definir ${\displaystyle x\geq 0}$ $${\displaystyle t_{n}=\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n},\qquad s_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {x^{k}}{k!}},\qquad e^{x}=\lim _{n\to \infty }s_{n}.}$$

Por el teorema del binomio , (usando x  ≥ 0 para obtener la desigualdad final) de modo que: Se debe usar lim sup porque no se sabe si t _n converge . $${\displaystyle {\begin{aligned}t_{n}&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{\frac {x^{k}}{n^{k}}}=1+x+\sum _{k=2}^{n}{\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-(k-1))x^{k}}{k!\,n^{k}}}\\[8pt]&=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)+{\frac {x^{3}}{3!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\left(1-{\frac {2}{n}}\right)+\cdots \\[8pt]&{}\qquad \cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\cdots \left(1-{\frac {n-1}{n}}\right)\leq s_{n}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }t_{n}\leq \limsup _{n\to \infty }s_{n}=e^{x}}$$

Para la otra desigualdad, por la expresión anterior para t _n , si 2 ≤  m ≤ n , tenemos: $${\displaystyle 1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)+\cdots +{\frac {x^{m}}{m!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\left(1-{\frac {2}{n}}\right)\cdots \left(1-{\frac {m-1}{n}}\right)\leq t_{n}.}$$

Fijemos m y dejemos que n tienda a infinito. Entonces (de nuevo, hay que usar lim inf porque no se sabe si t _n converge). Ahora, tomemos la desigualdad anterior, dejemos que m tienda a infinito y juntémosla con la otra desigualdad para obtener: de modo que $${\displaystyle s_{m}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{m}}{m!}}\leq \liminf _{n\to \infty }\ t_{n}}$$ $${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }t_{n}\leq e^{x}\leq \liminf _{n\to \infty }t_{n}}$$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }t_{n}=e^{x}.}$$

Esta equivalencia se puede extender a los números reales negativos observando y tomando el límite cuando n tiende a infinito. ${\textstyle \left(1-{\frac {r}{n}}\right)^{n}\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{n}=\left(1-{\frac {r^{2}}{n^{2}}}\right)^{n}}$

Caracterización 1 ⇔ caracterización 3

Aquí, la función logaritmo natural se define en términos de una integral definida como la anterior. Por la primera parte del teorema fundamental del cálculo , $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {d}{dx}}\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt={\frac {1}{x}}.}$$

Además, ${\textstyle \ln 1=\int _{1}^{1}{\frac {dt}{t}}=0}$

Ahora, sea x cualquier número real fijo, y sea $${\displaystyle y=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$$

Ln( y ) = x , lo que implica que y = e ^x , donde e ^x está en el sentido de la definición 3. Tenemos $${\displaystyle \ln y=\ln \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}=\lim _{n\to \infty }\ln \left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$$

Aquí se utiliza la continuidad de ln( y ), que se desprende de la continuidad de 1/ t : $${\displaystyle \ln y=\lim _{n\to \infty }n\ln \left(1+{\frac {x}{n}}\right)=\lim _{n\to \infty }{\frac {x\ln \left(1+(x/n)\right)}{(x/n)}}.}$$

En este caso, se ha utilizado el resultado ln a ⁿ = n ln a . Este resultado se puede establecer para n un número natural por inducción o mediante integración por sustitución. (La extensión a potencias reales debe esperar hasta que ln y exp se hayan establecido como inversas entre sí, de modo que a ^b se pueda definir para b real como e ^{b ln a} .) $${\displaystyle =x\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {\ln \left(1+h\right)}{h}}\quad {\text{ where }}h={\frac {x}{n}}}$$ $${\displaystyle =x\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {\ln \left(1+h\right)-\ln 1}{h}}}$$ $${\displaystyle =x\cdot {\frac {d}{dt}}\ln t{\Bigg |}_{t=1}}$$ $${\displaystyle \!\,=x.}$$

Caracterización 1 ⇔ caracterización 4

Sea α la solución del problema de valor inicial . Aplicando la forma más simple del método de Euler con incrementos y puntos de muestra se obtiene la fórmula recursiva: ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle y'=y,\ y(0)=1}$ ${\displaystyle \Delta t={\frac {x}{n}}}$ ${\displaystyle t\ =\ 0,\ \Delta t,\ 2\Delta t,\ldots ,\ n\Delta t}$

${\displaystyle y(t+\Delta t)\ \approx \ y(t)+y'(t)\Delta t\ =\ y(t)+y(t)\Delta t\ =\ y(t)\,(1+\Delta t).}$

Esta recursión se resuelve inmediatamente para dar el valor aproximado , y como se sabe que el método de Euler converge a la solución exacta, tenemos: ${\displaystyle y(x)=y(n\Delta t)\approx (1+\Delta t)^{n}}$

${\displaystyle y(x)=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$

Caracterización 2 ⇔ caracterización 4

Sea n un entero no negativo. En el sentido de la definición 4 y por inducción, . ${\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}=y}$

Por lo tanto ${\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}{\Bigg |}_{x=0}=y(0)=1.}$

Usando la serie de Taylor , esto demuestra que la definición 4 implica la definición 2. $${\displaystyle y=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}\,x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\,x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.}$$

En el sentido de la definición 2, $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}e^{x}&={\frac {d}{dx}}\left(1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {nx^{n-1}}{n!}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n-1}}{(n-1)!}}\\[6pt]&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}},{\text{ where }}k=n-1\\[6pt]&=e^{x}\end{aligned}}}$$

Además, esto demuestra que la definición 2 implica la definición 4. ${\textstyle e^{0}=1+0+{\frac {0^{2}}{2!}}+{\frac {0^{3}}{3!}}+\cdots =1.}$

Caracterización 2 ⇒ caracterización 5

En el sentido de la definición 2, la ecuación se deduce de la manipulación término por término de las series de potencias justificadas por la convergencia uniforme , y la igualdad de coeficientes resultante es simplemente el teorema binomial . Además: ^[3] ${\displaystyle \exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\exp '(0)&=\lim _{h\to 0}{\frac {e^{h}-1}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\left(\left(1+h+{\frac {h^{2}}{2!}}+{\frac {h^{3}}{3!}}+{\frac {h^{4}}{4!}}+\cdots \right)-1\right)\\&=\lim _{h\to 0}\left(1+{\frac {h}{2!}}+{\frac {h^{2}}{3!}}+{\frac {h^{3}}{4!}}+\cdots \right)\ =\ 1.\\\end{aligned}}}$$

Caracterización 3 ⇔ caracterización 4

La caracterización 3 define primero el logaritmo natural: luego como la función inversa con . Luego por la regla de la cadena : $${\displaystyle \log x\ \ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \int _{1}^{x}\!{\frac {dt}{t}},}$$ ${\displaystyle \exp }$ ${\textstyle x=\log(\exp x)}$

${\displaystyle 1={\frac {d}{dx}}[\log(\exp(x))]=\log '(\exp(x))\cdot \exp '(x)={\frac {\exp '(x)}{\exp(x)}},}$

es decir . Finalmente, , por lo que . Es decir, es la única solución del problema de valor inicial , de caracterización 4. A la inversa, suponga que tiene y , y defina como su función inversa con y . Entonces: ${\displaystyle \exp '(x)=\exp(x)}$ ${\displaystyle \log(1)=0}$ ${\displaystyle \exp '(0)=\exp(0)=1}$ ${\displaystyle y=\exp(x)}$ ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=y}$ ${\displaystyle y(0)=1}$ ${\displaystyle y=\exp(x)}$ ${\displaystyle \exp '(x)=\exp(x)}$ ${\displaystyle \exp(0)=1}$ ${\displaystyle \log(x)}$ ${\displaystyle x=\exp(\log x)}$ ${\displaystyle \log(1)=0}$

${\displaystyle 1={\frac {d}{dx}}[\exp(\log(x))]=\exp '(\log(x))\cdot \log '(x)=\exp(\log(x))\cdot \log '(x)=x\cdot \log '(x),}$

es decir . Por el teorema fundamental del cálculo , ${\displaystyle \log '(x)={\frac {1}{x}}}$ $${\displaystyle \int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt=\log(x)-\log(1)=\log(x).}$$

Caracterización 5 ⇒ caracterización 4

Las condiciones f' (0) = 1 y f ( x + y ) = f ( x ) f ( y ) implican ambas condiciones en la caracterización 4. De hecho, se obtiene la condición inicial f (0) = 1 dividiendo ambos lados de la ecuación por f (0) , y la condición de que f′ ( x ) = f ( x ) se sigue de la condición de que f′ (0) = 1 y la definición de la derivada como sigue: $${\displaystyle f(0)=f(0+0)=f(0)f(0)}$$ $${\displaystyle {\begin{array}{rcccccc}f'(x)&=&\lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}&=&\lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(x)f(h)-f(x)}{h}}&=&\lim \limits _{h\to 0}f(x){\frac {f(h)-1}{h}}\\[1em]&=&f(x)\lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(h)-1}{h}}&=&f(x)\lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(0+h)-f(0)}{h}}&=&f(x)f'(0)=f(x).\end{array}}}$$

Caracterización 5 ⇒ caracterización 4

Suponiendo la caracterización 5, la propiedad multiplicativa junto con la condición inicial implican que: ${\displaystyle \exp '(0)=1}$ $${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\frac {d}{dx}}\exp(x)&=&\lim _{h\to 0}{\frac {\exp(x{+}h)-\exp(x)}{h}}\\&=&\exp(x)\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {\exp(h)-1}{h}}\\&=&\exp(x)\exp '(0)=\exp(x).\end{array}}}$$

Caracterización 5 ⇔ caracterización 6

Aplicando inductivamente la regla de multiplicación, obtenemos: y por lo tanto para . Entonces la condición significa que , por definición. $${\displaystyle f\left({\frac {n}{m}}\right)^{m}=f\left({\frac {n}{m}}+\cdots +{\frac {n}{m}}\right)=f(n)=f(1)^{n},}$$ $${\displaystyle f\left({\frac {n}{m}}\right)={\sqrt[{m}]{f(1)^{n}}}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ a^{n/m}}$$ ${\displaystyle a=f(1)}$ ${\displaystyle f'(0)=1}$ ${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\tfrac {a^{h}-1}{h}}=1}$ ${\displaystyle a=e}$

Además, cualquiera de las condiciones de regularidad de la definición 5 implica que es continua en absoluto real (ver más abajo). Lo inverso es similar. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$

Caracterización 5 ⇒ caracterización 6

Sea una función Lebesgue-integrable distinta de cero que satisface la propiedad multiplicativa con . Siguiendo a Hewitt y Stromberg, ejercicio 18.46, probaremos que la integrabilidad Lebesgue implica continuidad. Esto es suficiente para implicar de acuerdo con la caracterización 6, argumentando como se indicó anteriormente. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y)}$ ${\displaystyle f(1)=e}$ ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$

Primero, algunas propiedades elementales:

1. Si es distinto de cero en cualquier lugar (por ejemplo en ), entonces es distinto de cero en todas partes. Demostración: implica . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x=y}$ ${\displaystyle f(y)=f(x)f(y-x)\neq 0}$ ${\displaystyle f(x)\neq 0}$
2. ${\displaystyle f(0)=1}$. Prueba: y no es cero. ${\displaystyle f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)}$ ${\displaystyle f(x)}$
3. ${\displaystyle f(-x)=1/f(x)}$. Prueba: . ${\displaystyle 1=f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)}$
4. Si es continua en cualquier lugar (por ejemplo en ), entonces es continua en todas partes. Demostración: como por continuidad en . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x=y}$ ${\displaystyle f(x+\delta )-f(x)=f(x-y)[f(y+\delta )-f(y)]\to 0}$ ${\displaystyle \delta \to 0}$ ${\displaystyle y}$

La segunda y tercera propiedades significan que es suficiente demostrar para x positivo  . ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$

Como es una función integrable de Lebesgue , entonces podemos definir . De ello se deduce que ${\displaystyle f(x)}$ ${\textstyle g(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,dt}$ $${\displaystyle g(x+y)-g(x)=\int _{x}^{x+y}f(t)\,dt=\int _{0}^{y}f(x+t)\,dt=f(x)g(y).}$$

Como no es cero, se puede elegir algún y tal que y resolverlo en la expresión anterior. Por lo tanto: ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g(y)\neq 0}$ ${\displaystyle f(x)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}f(x+\delta )-f(x)&={\frac {[g(x+\delta +y)-g(x+\delta )]-[g(x+y)-g(x)]}{g(y)}}\\&={\frac {[g(x+y+\delta )-g(x+y)]-[g(x+\delta )-g(x)]}{g(y)}}\\&={\frac {f(x+y)g(\delta )-f(x)g(\delta )}{g(y)}}=g(\delta ){\frac {f(x+y)-f(x)}{g(y)}}.\end{aligned}}}$$

La expresión final debe ir a cero ya que y es continua. De ello se deduce que es continua. ${\displaystyle \delta \to 0}$ ${\displaystyle g(0)=0}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$

Referencias

1. Walter Rudin (1987). Análisis real y complejo (3.ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill . p. 1. ISBN. 978-0-07-054234-1.
2. Eli Maor . e: La historia de un número . p. 156.
3. "Herman Yeung - Cálculo - Primer principio encontrar d/Dx(e^x) 基本原理求 d/Dx(e^x)". YouTube .

• Walter Rudin , Principios de análisis matemático , 3.ª edición (McGraw–Hill, 1976), capítulo 8.
• Edwin Hewitt y Karl Stromberg, Análisis real y abstracto (Springer, 1965).