Función medible

Función por la cual la preimagen de un conjunto medible es medible

En matemáticas , y en particular en teoría de la medida , una función medible es una función entre los conjuntos subyacentes de dos espacios mesurables que preserva la estructura de los espacios: la preimagen de cualquier conjunto medible es medible. Esto está en analogía directa con la definición de que una función continua entre espacios topológicos preserva la estructura topológica: la preimagen de cualquier conjunto abierto es abierto. En análisis real , las funciones mesurables se utilizan en la definición de la integral de Lebesgue . En teoría de la probabilidad , una función medible en un espacio de probabilidad se conoce como variable aleatoria .

Definición formal

Sean y espacios medibles, es decir que y son conjuntos dotados de sus respectivas -álgebras y Se dice que una función es medible si para cada la preimagen de bajo está en ; es decir, para todo ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle (Y,\mathrm {T} )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \mathrm {T} .}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle E\in \mathrm {T} }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle E\in \mathrm {T} }$ $${\displaystyle f^{-1}(E):=\{x\in X\mid f(x)\in E\}\in \Sigma .}$$

Es decir, donde es la σ-álgebra generada por f . Si es una función medible, se escribe para enfatizar la dependencia de las -álgebras y ${\displaystyle \sigma (f)\subseteq \Sigma ,}$ ${\displaystyle \sigma (f)}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ $${\displaystyle f\colon (X,\Sigma )\rightarrow (Y,\mathrm {T} ).}$$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \mathrm {T} .}$

Variaciones en el uso de términos

La elección de álgebras en la definición anterior a veces es implícita y depende del contexto. Por ejemplo, para u otros espacios topológicos, el álgebra de Borel (generada por todos los conjuntos abiertos) es una opción común. Algunos autores definen las funciones mensurables como funciones de valor real exclusivamente con respecto al álgebra de Borel. ^[1] ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$

Si los valores de la función se encuentran en un espacio vectorial de dimensión infinita , existen otras definiciones no equivalentes de mensurabilidad, como la mensurabilidad débil y la mensurabilidad de Bochner .

Clases notables de funciones mensurables

• Las variables aleatorias son, por definición, funciones mensurables definidas en espacios de probabilidad.
• Si y son espacios de Borel , una función medible también se denomina función de Borel . Las funciones continuas son funciones de Borel, pero no todas son continuas. Sin embargo, una función medible es casi una función continua; véase el teorema de Luzin . Si una función de Borel es una sección de una función, se denomina sección de Borel . ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle (Y,T)}$ ${\displaystyle f:(X,\Sigma )\to (Y,T)}$ ${\displaystyle Y\xrightarrow {~\pi ~} X,}$
• Una función medible de Lebesgue es una función medible donde es el álgebra de los conjuntos mesurables de Lebesgue, y es el álgebra de Borel sobre los números complejos Las funciones mesurables de Lebesgue son de interés en el análisis matemático porque pueden integrarse. En el caso es medible de Lebesgue si y solo si es medible para todos Esto también es equivalente a que cualquiera de sea medible para todos o la preimagen de cualquier conjunto abierto sea medible. Las funciones continuas, funciones monótonas, funciones escalonadas, funciones semicontinuas, funciones integrables de Riemann y funciones de variación acotada son todas mesurables de Lebesgue. ^[2] Una función es medible si y solo si las partes real e imaginaria son mesurables. ${\displaystyle f:(\mathbb {R} ,{\mathcal {L}})\to (\mathbb {C} ,{\mathcal {B}}_{\mathbb {C} }),}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{f>\alpha \}=\{x\in X:f(x)>\alpha \}}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \{f\geq \alpha \},\{f<\alpha \},\{f\leq \alpha \}}$ ${\displaystyle \alpha ,}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {C} }$

Propiedades de las funciones mensurables

• La suma y el producto de dos funciones medibles de valor complejo son medibles. ^[3] También lo es el cociente, siempre que no haya división por cero. ^[1]
• Si y son funciones mensurables, entonces también lo es su composición ^[1] ${\displaystyle f:(X,\Sigma _{1})\to (Y,\Sigma _{2})}$ ${\displaystyle g:(Y,\Sigma _{2})\to (Z,\Sigma _{3})}$ ${\displaystyle g\circ f:(X,\Sigma _{1})\to (Z,\Sigma _{3}).}$
• Si y son funciones mensurables, su composición no necesita ser mensurable a menos que De hecho, dos funciones mensurables según Lebesgue pueden construirse de tal manera que su composición no sea mensurable según Lebesgue. ${\displaystyle f:(X,\Sigma _{1})\to (Y,\Sigma _{2})}$ ${\displaystyle g:(Y,\Sigma _{3})\to (Z,\Sigma _{4})}$ ${\displaystyle g\circ f:X\to Z}$ ${\displaystyle (\Sigma _{1},\Sigma _{4})}$ ${\displaystyle \Sigma _{3}\subseteq \Sigma _{2}.}$
• El supremo (puntual) , el ínfimo , el límite superior y el límite inferior de una secuencia (es decir, un número contable de ellas) de funciones medibles de valor real también son medibles. ^{[1] [4]}
• El límite puntual de una secuencia de funciones mensurables es medible, donde es un espacio métrico (dotado del álgebra de Borel). Esto no es cierto en general si no es metrizable. La afirmación correspondiente para funciones continuas requiere condiciones más fuertes que la convergencia puntual, como la convergencia uniforme. ^{[5] [6]} ${\displaystyle f_{n}:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$

Funciones no mensurables

Las funciones de valor real que se encuentran en las aplicaciones tienden a ser mensurables; sin embargo, no es difícil demostrar la existencia de funciones no mensurables. Tales demostraciones se basan en el axioma de elección de manera esencial, en el sentido de que la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección no prueba la existencia de tales funciones.

En cualquier espacio de medida con un conjunto no medible se puede construir una función indicadora no medible : donde está equipada con el álgebra de Borel habitual . Esta es una función no medible ya que la preimagen del conjunto medible es el no medible. ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle A\subset X,}$ ${\displaystyle A\notin \Sigma ,}$ $${\displaystyle \mathbf {1} _{A}:(X,\Sigma )\to \mathbb {R} ,\quad \mathbf {1} _{A}(x)={\begin{cases}1&{\text{ if }}x\in A\\0&{\text{ otherwise}},\end{cases}}}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{1\}}$ ${\displaystyle A.}$  

Como otro ejemplo, cualquier función no constante no es medible con respecto al álgebra trivial ya que la preimagen de cualquier punto en el rango es algún subconjunto propio, no vacío, del cual no es un elemento del álgebra trivial. ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \Sigma =\{\varnothing ,X\},}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \Sigma .}$

Véase también

• Función medible de Bochner
• Espacio de Bochner  – Tipo de espacio topológico
• Espacio Lp  – Espacios funcionales que generalizan espacios normativos p de dimensión finita - Espacios vectoriales de funciones mensurables: los espacios ${\displaystyle L^{p}}$
• Sistema dinámico que preserva la medida  : objeto de estudio de la teoría ergódica
• Medida vectorial
• Función débilmente medible

Notas

1. Strichartz, Robert (2000). El camino del análisis . Jones y Bartlett. ISBN 0-7637-1497-6.
2. Carothers, NL (2000). Análisis real . Cambridge University Press. ISBN 0-521-49756-6.
3. Folland, Gerald B. (1999). Análisis real: técnicas modernas y sus aplicaciones . Wiley. ISBN 0-471-31716-0.
4. Royden, HL (1988). Análisis real . Prentice Hall. ISBN 0-02-404151-3.
5. Dudley, RM (2002). Análisis real y probabilidad (2.ª edición). Cambridge University Press. ISBN 0-521-00754-2.
6. Aliprantis, Charalambos D.; Border, Kim C. (2006). Análisis de dimensión infinita, Guía del autoestopista (3.ª ed.). Springer. ISBN 978-3-540-29587-7.

Enlaces externos

• Función medible en Enciclopedia de Matemáticas
• Función de Borel en la Enciclopedia de Matemáticas