Jyā , koṭi-jyā y utkrama-jyā son tres funciones trigonométricas introducidas por matemáticos y astrónomos indios. El tratado indio más antiguo conocido que contiene referencias a estas funciones es Surya Siddhanta . [1] Se trata de funciones de arcos de círculos y no de ángulos. Jyā y koti-jyā están estrechamente relacionadas con las funciones trigonométricas modernas de seno y coseno . De hecho, los orígenes de los términos modernos de "seno" y "coseno" se remontan a las palabras sánscritas jyā y koti-jyā. [1]
Sea "arco AB" un arco cuyos dos extremos son A y B de un círculo con centro "O". Si se traza una perpendicular BM desde B hasta OA, entonces:
Si el radio del círculo es R y la longitud del arco AB es s , el ángulo subtendido por el arco AB en O medido en radianes es θ = s / R. Las tres funciones indias están relacionadas con las funciones trigonométricas modernas de la siguiente manera:
Un arco de círculo es como un arco y por eso se le llama dhanu o chāpa que en sánscrito significa "arco". La línea recta que une los dos extremos de un arco de círculo es como la cuerda de un arco y esta línea es una cuerda del círculo. Esta cuerda se llama jyā que en sánscrito significa "cuerda de arco", probablemente traduciendo la χορδή de Hiparco con el mismo significado [ cita requerida ] . La palabra jīvá también se usa como sinónimo de jyā en la literatura geométrica. [2] En algún momento, los astrónomos y matemáticos indios se dieron cuenta de que los cálculos serían más convenientes si se usaban las mitades de las cuerdas en lugar de las cuerdas completas y se asociaban las medias cuerdas con las mitades de los arcos. [1] [3] Las medias cuerdas se llamaban ardha-jyā s o jyā-ardha s. Estos términos fueron acortados nuevamente a jyā omitiendo el calificativo ardha que significaba "mitad de".
La palabra sánscrita koṭi tiene el significado de "punta, cúspide", y específicamente "el extremo curvo de un arco ". En trigonometría, llegó a denotar "el complemento de un arco a 90°". Por lo tanto, koṭi-jyā es "el jyā del arco complementario". En los tratados indios, especialmente en los comentarios, koṭi-jyā se abrevia a menudo como kojyā . El término koṭi también denota "el lado de un triángulo rectángulo". Por lo tanto, koṭi-jyā también podría significar el otro cateto de un triángulo rectángulo, siendo el primer cateto el jyā . [ aclaración necesaria ] [1]
Utkrama significa "invertido", por lo tanto utkrama-jyā significa "cuerda invertida". Los valores tabulares de utkrama-jyā se derivan de los valores tabulares de jyā restando los elementos del radio en orden inverso. [ aclaración necesaria ] Esta es realmente [ aclaración necesaria ] la flecha entre el arco y la cuerda del arco y por lo tanto también se la ha llamado bāṇa , iṣu o śara, todos ellos significando "flecha". [1]
Un arco de un círculo que subtiende un ángulo de 90° en el centro se llama vritta-pāda (un cuadrante de un círculo). Cada signo zodiacal define un arco de 30° y tres signos zodiacales consecutivos definen un vritta-pāda . El jyā de un vritta-pāda es el radio del círculo. Los astrónomos indios acuñaron el término tri-jyā para denotar el radio del círculo base, siendo el término tri-jyā indicativo de "el jyā de tres signos". El radio también se llama vyāsārdha , viṣkambhārdha , vistarārdha , etc., todos significando "semidiámetro". [1]
Según una convención, las funciones jyā y koti-jyā se denotan respectivamente por "Rsin" y "Rcos" tratadas como palabras individuales. [1] Otros denotan jyā y koti-jyā respectivamente por "Sin" y "Cos" (las primeras letras son mayúsculas en contraposición a las primeras letras que son minúsculas en las funciones seno y coseno ordinarias). [3]
Los orígenes del término moderno seno se remontan a la palabra sánscrita jyā , [4] [5] o más específicamente a su sinónimo jīvá . Este término fue adoptado en las matemáticas islámicas medievales , transliterado al árabe como jība (جيب). Dado que el árabe se escribe sin vocales cortas (y como préstamo, la vocal larga se denota aquí con yāʾ ), esto se interpretó como el homógrafo jaib , jayb (جيب), que significa "seno". El traductor latino del texto del siglo XII utilizó el equivalente latino para "seno", sinus . [6] Cuando jyā se convirtió en sinus , se ha sugerido que, por analogía, kojyā se convirtió en co-sinus . Sin embargo, en los primeros textos medievales, el coseno se llama complementi sinus "seno del complemento", lo que sugiere que la similitud con kojyā es una coincidencia. [7]