Esfera unitaria

Esfera con radio uno, generalmente centrada en el origen del espacio.

Algunas 1-esferas: ‖ x ‖ ₂ es la norma para el espacio euclidiano.

En matemáticas , una esfera unitaria es una esfera de radio unitario : el conjunto de puntos a una distancia euclidiana de 1 desde algún punto central en el espacio tridimensional . De manera más general, la esfera unitaria ${\displaystyle n}$ es una esfera de radio unitario en un espacio euclidiano tridimensional ; el círculo unitario es un caso especial, la esfera unitaria en el plano . Una esfera unitaria ( abierta ) es la región dentro de una esfera unitaria, el conjunto de puntos a una distancia menor que 1 desde el centro. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n+1)}$ ${\displaystyle 1}$

Una esfera o bola con radio unitario y centro en el origen del espacio se denomina esfera unitaria o bola unitaria. Cualquier esfera arbitraria puede transformarse en la esfera unitaria mediante una combinación de traslación y escala , por lo que el estudio de las esferas en general a menudo puede reducirse al estudio de la esfera unitaria.

La esfera unitaria se utiliza a menudo como modelo para la geometría esférica porque tiene una curvatura seccional constante de 1, lo que simplifica los cálculos. En trigonometría , la longitud del arco circular en el círculo unitario se denomina radianes y se utiliza para medir la distancia angular ; en trigonometría esférica, el área de la superficie de la esfera unitaria se denomina estereorradianes y se utiliza para medir el ángulo sólido .

En contextos más generales, una esfera unitaria es el conjunto de puntos a distancia 1 de un punto central fijo, donde se pueden utilizar diferentes normas como nociones generales de "distancia", y una bola unitaria (abierta) es la región interior.

Esferas y bolas unitarias en el espacio euclidiano

En el espacio euclidiano de dimensiones, la esfera unitaria -dimensional es el conjunto de todos los puntos que satisfacen la ecuación ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$

${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1.}$

La unidad abierta -bola es el conjunto de todos los puntos que satisfacen la desigualdad ${\displaystyle n}$

${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}<1,}$

y la unidad cerrada -bola es el conjunto de todos los puntos que satisfacen la desigualdad ${\displaystyle n}$

${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\leq 1.}$

Volumen y área

Gráficas de volúmenes ( V ) y áreas superficiales ( S ) de bolas unitarias n

La ecuación clásica de una esfera unitaria es la del elipsoide con un radio de 1 y sin alteraciones en los ejes -, -, o -: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}$

El volumen de la bola unitaria en el espacio euclidiano y el área de la superficie de la esfera unitaria aparecen en muchas fórmulas de análisis importantes . El volumen de la bola unitaria, que denotamos, se puede expresar haciendo uso de la función gamma . Es ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V_{n},}$

${\displaystyle V_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma (1+n/2)}}={\begin{cases}{\pi ^{n/2}}/{(n/2)!}&\mathrm {if~} n\geq 0\mathrm {~is~even} \\[6mu]{2(2\pi )^{(n-1)/2}}/{n!!}&\mathrm {if~} n\geq 0\mathrm {~is~odd,} \end{cases}}}$

¿Dónde está el factorial doble ? ${\displaystyle n!!}$

El hipervolumen de la esfera unitaria de dimensión 1 ( es decir , el "área" del límite de la bola unitaria de dimensión 1), que denotamos, se puede expresar como ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A_{n-1},}$

${\displaystyle A_{n-1}=nV_{n}={\frac {n\pi ^{n/2}}{\Gamma (1+n/2)}}={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma (n/2)}}={\begin{cases}{2\pi ^{n/2}}/{(n/2-1)!}&\mathrm {if~} n\geq 1\mathrm {~is~even} \\[6mu]{2(2\pi )^{(n-1)/2}}/{(n-2)!!}&\mathrm {if~} n\geq 1\mathrm {~is~odd.} \end{cases}}}$

Por ejemplo, es el "área" del límite de la bola unitaria , que simplemente cuenta los dos puntos. Entonces es el "área" del límite del disco unitario, que es la circunferencia del círculo unitario. es el área del límite de la bola unitaria , que es el área de la superficie de la esfera unitaria . ${\displaystyle A_{0}=2}$ ${\displaystyle [-1,1]\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A_{1}=2\pi }$ ${\displaystyle A_{2}=4\pi }$ ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{3}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\leq 1\}}$ ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{3}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1\}}$

Las áreas superficiales y los volúmenes para algunos valores de son los siguientes: ${\displaystyle n}$

donde los valores decimales expandidos se redondean a la precisión mostrada. ${\displaystyle n\geq 2}$

Recursión

Los valores satisfacen la recursión: ${\displaystyle A_{n}}$

${\displaystyle A_{0}=2}$

${\displaystyle A_{1}=2\pi }$

${\displaystyle A_{n}={\frac {2\pi }{n-1}}A_{n-2}}$para . ${\displaystyle n>1}$

Los valores satisfacen la recursión: ${\displaystyle V_{n}}$

${\displaystyle V_{0}=1}$

${\displaystyle V_{1}=2}$

${\displaystyle V_{n}={\frac {2\pi }{n}}V_{n-2}}$para . ${\displaystyle n>1}$

Dimensiones de valor real no negativo

El valor en valores reales no negativos de se utiliza a veces para la normalización de la medida de Hausdorff. ^{[1] [2]} ${\textstyle 2^{-n}V_{n}=\pi ^{n/2}{\big /}\,2^{n}\Gamma {\bigl (}1+{\tfrac {1}{2}}n{\bigr )}}$ ${\displaystyle n}$

Otros radios

El área de la superficie de una -esfera con radio es y el volumen de una - bola con radio es Por ejemplo, el área es para la superficie bidimensional de la bola tridimensional de radio El volumen es para la bola tridimensional de radio  . ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle A_{n-1}r^{n-1}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle V_{n}r^{n}.}$ ${\displaystyle A_{2}=4\pi r^{2}}$ ${\displaystyle r.}$ ${\displaystyle V_{3}={\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}}$ ${\displaystyle r}$

Bolas unitarias en espacios vectoriales normados

La bola unitaria abierta de un espacio vectorial normado con la norma está dada por ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$

${\displaystyle \{x\in V:\|x\|<1\}}$

Es el interior topológico de la bola unitaria cerrada de ${\displaystyle (V,\|\cdot \|)\colon }$

${\displaystyle \{x\in V:\|x\|\leq 1\}}$

Este último es la unión disjunta del primero y su frontera común, la esfera unitaria de ${\displaystyle (V,\|\cdot \|)\colon }$

${\displaystyle \{x\in V:\|x\|=1\}}$

La "forma" de la esfera unitaria depende completamente de la norma elegida; puede tener "esquinas" y, por ejemplo, puede parecerse a la del caso de la norma máxima en . Se obtiene una esfera naturalmente redonda como esfera unitaria perteneciente a la norma habitual del espacio de Hilbert , basada en el caso de dimensión finita en la distancia euclidiana ; su límite es lo que normalmente se entiende por esfera unitaria . ${\displaystyle [-1,1]^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Definamos la norma usual como: ${\displaystyle x=(x_{1},...x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle \ell _{p}}$ ${\displaystyle p\geq 1}$

${\displaystyle \|x\|_{p}={\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}{\biggr )}^{1/p}}$

Entonces, la norma usual del espacio de Hilbert se denomina norma de Hamming o -norma. La condición es necesaria en la definición de la norma, ya que la bola unitaria en cualquier espacio normado debe ser convexa como consecuencia de la desigualdad triangular . Sea la máxima norma o -norma de . ${\displaystyle \|x\|_{2}}$ ${\displaystyle \|x\|_{1}}$ ${\displaystyle \ell _{1}}$ ${\displaystyle p\geq 1}$ ${\displaystyle \ell _{p}}$ ${\displaystyle \|x\|_{\infty }}$ ${\displaystyle \ell _{\infty }}$ ${\displaystyle x}$

Nótese que para las circunferencias unidimensionales de las bolas unitarias bidimensionales, tenemos: ${\displaystyle C_{p}}$

${\displaystyle C_{1}=4{\sqrt {2}}}$es el valor mínimo.

${\displaystyle C_{2}=2\pi }$

${\displaystyle C_{\infty }=8}$es el valor máximo.

Generalizaciones

Espacios métricos

Las tres definiciones anteriores se pueden generalizar de forma sencilla a un espacio métrico , con respecto a un origen elegido. Sin embargo, las consideraciones topológicas (interior, clausura, borde) no tienen por qué aplicarse de la misma manera (por ejemplo, en espacios ultramétricos , los tres son conjuntos abiertos y cerrados simultáneamente), y la esfera unitaria puede incluso estar vacía en algunos espacios métricos.

Formas cuadráticas

Si es un espacio lineal con una forma cuadrática real , entonces puede llamarse esfera unitaria ^{[3] [4]} o cuasiesférica unitaria de Por ejemplo, la forma cuadrática , cuando se establece igual a uno, produce la hipérbola unitaria , que desempeña el papel del "círculo unitario" en el plano de los números complejos divididos . De manera similar, la forma cuadrática produce un par de líneas para la esfera unitaria en el plano de números duales . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F:V\to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \{p\in V:F(p)=1\}}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle x^{2}-y^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}}$

Véase también

• Pelota
• ${\displaystyle n}$-esfera
• Esfera
• Superelipse
• Círculo unitario
• Disco unitario
• Fibrado tangente unitario
• Unidad cuadrada

Notas y referencias

1. La Universidad China de Hong Kong, Matemáticas 5011, Capítulo 3, Medidas de Lebesgue y Hausdorff
2. Manin, Yuri I. (2006). "La noción de dimensión en geometría y álgebra" (PDF) . Boletín de la American Mathematical Society . 43 (2): 139–161. doi :10.1090/S0273-0979-06-01081-0 . Consultado el 17 de diciembre de 2021 .
3. Takashi Ono (1994) Variaciones sobre un tema de Euler: formas cuadráticas, curvas elípticas y mapas de Hopf , capítulo 5: Mapas esféricos cuadráticos, página 165, Plenum Press , ISBN 0-306-44789-4 
4. F. Reese Harvey (1990) Espinores y calibraciones , "Esferas generalizadas", página 42, Academic Press , ISBN 0-12-329650-1 

• Mahlon M. Day (1958) Espacios lineales normados , página 24, Springer-Verlag .
• Deza, E. ; Deza, M. (2006), Diccionario de distancias , Elsevier, ISBN 0-444-52087-2. Reseñado en Newsletter of the European Mathematical Society 64 (junio de 2007), pág. 57. Este libro está organizado como una lista de distancias de muchos tipos, cada una con una breve descripción.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Esfera unitaria". MathWorld .