Un sistema coherente de unidades es un sistema de unidades de medida utilizado para expresar cantidades físicas que se definen de tal manera que las ecuaciones que relacionan los valores numéricos expresados en las unidades del sistema tienen exactamente la misma forma, incluyendo factores numéricos, que la ecuaciones correspondientes que relacionan directamente las cantidades. [1] [2] Es un sistema en el que cada cantidad tiene una unidad única, o uno que no utiliza factores de conversión . [3]
Una unidad derivada coherente es una unidad derivada que, para un sistema dado de cantidades y para un conjunto elegido de unidades base , es un producto de potencias de unidades base, siendo el factor de proporcionalidad uno. [1]
Si un sistema de cantidades tiene ecuaciones que relacionan cantidades y el sistema de unidades asociado tiene unidades base correspondientes, con solo una unidad para cada cantidad base, entonces es coherente si y solo si cada unidad derivada del sistema es coherente.
El concepto de coherencia fue desarrollado a mediados del siglo XIX, entre otros, por Kelvin y James Clerk Maxwell y promovido por la Asociación Británica de Ciencias . El concepto se aplicó inicialmente al sistema de unidades centímetro-gramo-segundo (CGS) en 1873 y al sistema de unidades pie-libra-segundo (FPS) en 1875. El Sistema Internacional de Unidades (SI) se diseñó en 1960 en torno al principio de coherencia. .
En el sistema SI, la unidad derivada m/s es una unidad derivada coherente para la velocidad, pero km / h no es una unidad derivada coherente. La velocidad se define como el cambio de distancia dividido por un cambio de tiempo. La unidad derivada m/s utiliza las unidades base del sistema SI. [1] La unidad derivada km/h requiere factores numéricos para relacionarla con las unidades base del SI:1000 m/km y3600 s/h .
En el sistema cgs , m/s no es una unidad derivada coherente. El factor numérico deSe necesitan 100 cm/m para expresar m/s en el sistema cgs.
Las primeras unidades de medida ideadas por la humanidad no tenían relación entre sí. [ cita necesaria ] A medida que se desarrolló la comprensión de los conceptos filosóficos de la humanidad y la organización de la sociedad , se estandarizaron las unidades de medida: primero, unidades de medida particulares tenían el mismo valor en una comunidad , luego diferentes unidades de la misma cantidad (por ejemplo, pies y pulgadas) se les dio una relación fija. Aparte de la antigua China , donde las unidades de capacidad y masa estaban vinculadas a las semillas de mijo rojo , hay poca evidencia de la vinculación de diferentes cantidades hasta la Ilustración . [4]
La historia de la medición de la longitud se remonta a las primeras civilizaciones de Oriente Medio (10.000 a. C. – 8.000 a. C.). Los arqueólogos han podido reconstruir las unidades de medida utilizadas en Mesopotamia , India , la cultura judía y muchas otras. La evidencia arqueológica y de otro tipo muestra que en muchas civilizaciones, las proporciones entre diferentes unidades para la misma cantidad de medida se ajustaron para que fueran números enteros. En muchas culturas tempranas, como el Antiguo Egipto , no siempre se usaban múltiplos de 2, 3 y 5: el codo real egipcio tenía 28 dedos o 7 manos . [5] En 2150 a.C., el emperador acadio Naram-Sin racionalizó el sistema de medida babilónico, ajustando las proporciones de muchas unidades de medida a múltiplos de 2, 3 o 5, por ejemplo había 6 she ( granos de cebada ) en un shu- si ( dedo ) y 30 shu-si en un kush ( codo ). [6]
Las cantidades no conmensurables tienen diferentes dimensiones físicas , lo que significa que sumarlas o restarlas no tiene sentido. Por ejemplo, sumar la masa de un objeto a su volumen no tiene significado físico. Sin embargo, se pueden derivar nuevas cantidades (y, como tales, unidades) mediante la multiplicación y exponenciación de otras unidades. Por ejemplo, la unidad SI para fuerza es el newton , que se define como kg⋅m⋅s −2 . Dado que una unidad derivada coherente es aquella que se define mediante la multiplicación y exponenciación de otras unidades pero no multiplicada por ningún factor de escala distinto de 1, el pascal es una unidad coherente de presión (definida como kg⋅m −1 ⋅s −2 ), pero la barra (definida como100 000 kg⋅m −1 ⋅s −2 ) no lo es.
Tenga en cuenta que la coherencia de una unidad determinada depende de la definición de las unidades base. ¿Debería la unidad estándar de longitud cambiar de modo que sea más corta por un factor de100 000 , entonces la barra sería una unidad derivada coherente. Sin embargo, una unidad coherente sigue siendo coherente (y una unidad no coherente sigue siendo no coherente) si las unidades base se redefinen en términos de otras unidades siendo el factor numérico siempre la unidad.
El concepto de coherencia no se introdujo en el sistema métrico hasta el tercer cuarto del siglo XIX; en su forma original, el sistema métrico no era coherente: en particular, el litro equivalía a 0,001 m 3 y el área (de donde obtenemos la hectárea ) era 100 m 2 . Sin embargo, un precursor del concepto de coherencia estuvo presente en el hecho de que las unidades de masa y longitud estaban relacionadas entre sí a través de las propiedades físicas del agua, habiéndose diseñado el gramo como la masa de un centímetro cúbico de agua en su punto de congelación. [7]
El sistema CGS tenía dos unidades de energía, el ergio que estaba relacionado con la mecánica y la caloría que estaba relacionada con la energía térmica , por lo que sólo una de ellas (el ergio, equivalente al g⋅cm 2 /s 2 ) podía soportar una unidad coherente. relación con las unidades base. Por el contrario, la coherencia era un objetivo de diseño del SI, lo que dio como resultado que solo se definiera una unidad de energía: el julio . [8]
Cada variante del sistema métrico tiene un grado de coherencia: las distintas unidades derivadas están directamente relacionadas con las unidades base sin necesidad de factores de conversión intermedios. [1] Un criterio adicional es que, por ejemplo, en un sistema coherente las unidades de fuerza , energía y potencia se elijan de manera que las ecuaciones
mantener sin la introducción de factores constantes. Una vez que se ha definido un conjunto de unidades coherentes, otras relaciones en física que utilizan esas unidades serán automáticamente verdaderas: la ecuación masa-energía de Einstein , E = mc 2 , no requiere constantes extrañas cuando se expresa en unidades coherentes. [9]
Isaac Asimov escribió: "En el sistema cgs, una fuerza unitaria se describe como aquella que producirá una aceleración de 1 cm/seg 2 sobre una masa de 1 g. Por lo tanto, una fuerza unitaria es 1 cm/seg 2 multiplicada por 1 g. " [10] Estas son declaraciones independientes. La primera es una definición; el segundo no lo es. La primera implica que la constante de proporcionalidad en la ley de fuerza tiene una magnitud de uno; el segundo implica que no tiene dimensiones. Asimov los utiliza a ambos juntos para demostrar que es el número uno puro.
La conclusión de Asimov no es la única posible. En un sistema que utiliza las unidades pie (ft) para longitud, segundo (s) para tiempo, libra (lb) para masa y libra-fuerza (lbf) para fuerza, la ley que relaciona fuerza ( F ), masa ( m ) , y la aceleración ( a ) es F = 0,031081 ma . Dado que la constante de proporcionalidad aquí no tiene dimensiones y las unidades en cualquier ecuación deben equilibrarse sin ningún factor numérico que no sea uno, se deduce que 1 lbf = 1 lb⋅ft/s 2 . Esta conclusión parece paradójica desde el punto de vista de los sistemas competidores, según los cuales F = ma y 1 lbf = 32,174 lb⋅ft/s 2 . Aunque la libra-fuerza es una unidad derivada coherente en este sistema según la definición oficial, el sistema en sí no se considera coherente debido a la presencia de la constante de proporcionalidad en la ley de fuerza.
Una variante de este sistema aplica la unidad s 2 /pie a la constante de proporcionalidad. Esto tiene el efecto de identificar la libra fuerza con la libra. La libra es entonces a la vez una unidad básica de masa y una unidad de fuerza derivada coherente. Se puede aplicar cualquier unidad que se desee a la constante de proporcionalidad. Si se le aplica la unidad s 2 /lb, entonces el pie se convierte en una unidad de fuerza. En un sistema de cuatro unidades ( unidades de ingeniería inglesas ), la libra y la libra-fuerza son unidades básicas distintas, y la constante de proporcionalidad tiene la unidad lbf⋅s 2 /(lb⋅ft). [11] [12]
Todos estos sistemas son coherentes. Uno que no lo es es un sistema de tres unidades (también llamadas unidades de ingeniería inglesas) en el que F = ma que utiliza la libra y la libra-fuerza, una de las cuales es una unidad base y la otra, una unidad derivada no coherente. En lugar de una constante de proporcionalidad explícita, este sistema utiliza factores de conversión derivados de la relación 1 lbf = 32,174 lb⋅ft/s 2 . En cálculos numéricos, es indistinguible del sistema de cuatro unidades, ya que lo que es una constante de proporcionalidad en este último es un factor de conversión en el primero. La relación entre los valores numéricos de las cantidades en la ley de la fuerza es { F } = 0.031081 { m } { a }, donde las llaves denotan los valores numéricos de las cantidades encerradas. A diferencia de este sistema, en un sistema coherente las relaciones entre los valores numéricos de las cantidades son las mismas que las relaciones entre las cantidades mismas.
El siguiente ejemplo se refiere a definiciones de cantidades y unidades. La velocidad (promedio) ( v ) de un objeto se define como la propiedad física cuantitativa del objeto que es directamente proporcional a la distancia ( d ) recorrida por el objeto e inversamente proporcional al tiempo ( t ) de viaje, es decir, v = kd / t , donde k es una constante que depende de las unidades utilizadas. Supongamos que el metro (m) y el segundo (s) son unidades básicas; entonces el kilómetro (km) y la hora (h) son unidades derivadas no coherentes. El metro por segundo (mps) se define como la velocidad de un objeto que recorre un metro en un segundo, y el kilómetro por hora (kmph) se define como la velocidad de un objeto que recorre un kilómetro en una hora. Sustituyendo las definiciones de las unidades en la ecuación definitoria de velocidad obtenemos, 1 mps = k m/s y 1 kmph = k km/h = 1/3,6 k m/s = 1/3,6 mps. Ahora elija k = 1; entonces el metro por segundo es una unidad derivada coherente y el kilómetro por hora es una unidad derivada no coherente. Supongamos que elegimos utilizar el kilómetro por hora como unidad de velocidad en el sistema. Entonces el sistema se vuelve no coherente y la ecuación del valor numérico para la velocidad se convierte en { v } = 3,6 { d }/{ t }. Se puede restablecer la coherencia, sin cambiar las unidades, eligiendo k = 3,6; entonces el kilómetro por hora es una unidad derivada coherente, con 1 kmph = 1 m/s, y el metro por segundo es una unidad derivada no coherente, con 1 mps = 3,6 m/s.
Una definición de cantidad física es una declaración que determina la proporción de dos instancias cualesquiera de la cantidad. La especificación del valor de cualquier factor constante no forma parte de la definición ya que no afecta la relación. La definición de velocidad anterior satisface este requisito ya que implica que v 1 / v 2 = ( d 1 / d 2 )/( t 1 / t 2 ); por lo tanto, si se determinan las proporciones de distancias y tiempos, también se determina la proporción de velocidades. Una definición de unidad de una cantidad física es una declaración que determina la relación entre cualquier instancia de la cantidad y la unidad. Esta relación es el valor numérico de la cantidad o el número de unidades contenidas en la cantidad. La definición anterior de metro por segundo satisface este requisito ya que, junto con la definición de velocidad, implica que v /mps = ( d /m)/( t /s); por lo tanto, si se determinan las razones entre la distancia y el tiempo y sus unidades, también se determina la razón entre la velocidad y su unidad. La definición, por sí sola, es inadecuada ya que sólo determina la relación en un caso específico; se puede considerar como una exhibición de una muestra de la unidad.
Una nueva unidad coherente no puede definirse simplemente expresándola algebraicamente en términos de unidades ya definidas. Así, la afirmación "el metro por segundo es igual a un metro dividido por un segundo" no es, en sí misma, una definición. No implica que se esté definiendo una unidad de velocidad, y si se suma ese hecho, no determina la magnitud de la unidad, ya que eso depende del sistema de unidades. Para que se convierta en una definición adecuada, se deben especificar tanto la cantidad como la ecuación que la define, incluido el valor de cualquier factor constante. Sin embargo, una vez definida una unidad de esta manera, tiene una magnitud que es independiente de cualquier sistema de unidades.
Esta lista cataloga relaciones coherentes en varios sistemas de unidades.
La siguiente es una lista de cantidades con sus correspondientes unidades SI coherentes:
La siguiente es una lista de sistemas de unidades coherentes centímetro-gramo-segundo (CGS):
La siguiente es una lista de sistemas de unidades coherentes pie-libra-segundo (FPS):
{{citation}}: Mantenimiento CS1: nombres numéricos: lista de autores ( enlace )