En matemáticas , en el campo de la teoría algebraica de números , una unidad S generaliza la idea de unidad del anillo de números enteros del campo. Muchos de los resultados que se cumplen para las unidades también son válidos para las unidades S.
Sea K un cuerpo de números con un anillo de números enteros R . Sea S un conjunto finito de ideales primos de R . Un elemento x de K es una S -unidad si el ideal fraccionario principal ( x ) es un producto de primos en S (a potencias positivas o negativas). Para el anillo de números enteros racionales Z se puede tomar S como un conjunto finito de números primos y definir una S -unidad como un número racional cuyo numerador y denominador son divisibles solo por los primos en S .
Las unidades S forman un grupo multiplicativo que contiene las unidades de R.
El teorema de la unidad de Dirichlet es válido para las unidades S : el grupo de unidades S se genera finitamente , con rango (número máximo de elementos multiplicativamente independientes) igual a r + s , donde r es el rango del grupo de unidades y s = | S |.
La ecuación de la unidad S es una ecuación diofántica
con u y v restringidas a ser S -unidades de K (o más generalmente, elementos de un subgrupo finitamente generado del grupo multiplicativo de cualquier cuerpo de característica cero). El número de soluciones de esta ecuación es finito [1] y las soluciones se determinan efectivamente utilizando estimaciones para formas lineales en logaritmos como se desarrolló en la teoría de números trascendentales . Una variedad de ecuaciones diofánticas son reducibles en principio a alguna forma de la ecuación de S -unidad: un ejemplo notable es el teorema de Siegel sobre puntos integrales en curvas elípticas , y más generalmente curvas superelípticas de la forma y n = f ( x ).
Un solucionador computacional para la ecuación de la unidad S está disponible en el software SageMath . [2]