Volatilidad estocástica

Cuando la varianza es una variable aleatoria

En estadística, los modelos de volatilidad estocástica son aquellos en los que la varianza de un proceso estocástico se distribuye aleatoriamente. ^[1] Se utilizan en el campo de las finanzas matemáticas para evaluar valores derivados , como opciones . El nombre deriva del tratamiento que dan los modelos a la volatilidad del valor subyacente como un proceso aleatorio , regido por variables de estado como el nivel de precio del valor subyacente, la tendencia de la volatilidad a revertir a algún valor medio de largo plazo y la varianza de el propio proceso de volatilidad, entre otros.

Los modelos de volatilidad estocástica son un enfoque para resolver una deficiencia del modelo de Black-Scholes . En particular, los modelos basados ​​en Black-Scholes suponen que la volatilidad subyacente es constante durante la vida del derivado y no se ve afectada por los cambios en el nivel de precios del valor subyacente. Sin embargo, estos modelos no pueden explicar características observadas desde hace mucho tiempo de la superficie de volatilidad implícita, como la sonrisa y el sesgo de la volatilidad, que indican que la volatilidad implícita tiende a variar con respecto al precio de ejercicio y el vencimiento. Al suponer que la volatilidad del precio subyacente es un proceso estocástico y no una constante, es posible modelar los derivados con mayor precisión.

Los modelos de volatilidad local cubren un término medio entre el modelo simple de Black-Scholes y los modelos de volatilidad estocástica . En estos modelos, la volatilidad subyacente no presenta ninguna aleatoriedad nueva, pero tampoco es una constante. En los modelos de volatilidad local, la volatilidad es una función no trivial del activo subyacente, sin ningún tipo de aleatoriedad adicional. Según esta definición, modelos como la elasticidad de varianza constante serían modelos de volatilidad local, aunque en ocasiones se clasifican como modelos de volatilidad estocástica. La clasificación puede resultar un poco ambigua en algunos casos.

La historia temprana de la volatilidad estocástica tiene múltiples raíces (es decir, proceso estocástico, fijación de precios de opciones y econometría), como se analiza en el Capítulo 1 de Neil Shephard (2005) "Stochastic Volatility", Oxford University Press.

Modelo basica

Partiendo de un enfoque de volatilidad constante, supongamos que el precio del activo subyacente del derivado sigue un modelo estándar de movimiento browniano geométrico :

${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t}\,}$

donde es la deriva constante (es decir, el rendimiento esperado) del precio del valor , es la volatilidad constante y es un proceso estándar de Wiener con media cero y tasa de varianza unitaria . La solución explícita de esta ecuación diferencial estocástica es ${\displaystyle \mu \,}$ ${\displaystyle S_{t}\,}$ ${\displaystyle \sigma \,}$ ${\displaystyle dW_{t}\,}$

${\displaystyle S_{t}=S_{0}e^{(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2})t+\sigma W_{t}}.}$

El estimador de máxima verosimilitud para estimar la volatilidad constante para precios de acciones determinados en diferentes momentos es ${\displaystyle \sigma \,}$ ${\displaystyle S_{t}\,}$ ${\displaystyle t_{i}\,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {\sigma }}^{2}&=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {(\ln S_{t_{i}}-\ln S_{t_{i-1}})^{2}}{t_{i}-t_{i-1}}}\right)-{\frac {1}{n}}{\frac {(\ln S_{t_{n}}-\ln S_{t_{0}})^{2}}{t_{n}-t_{0}}}\\&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(t_{i}-t_{i-1})\left({\frac {\ln {\frac {S_{t_{i}}}{S_{t_{i-1}}}}}{t_{i}-t_{i-1}}}-{\frac {\ln {\frac {S_{t_{n}}}{S_{t_{0}}}}}{t_{n}-t_{0}}}\right)^{2};\end{aligned}}}$

su valor esperado es ${\displaystyle \operatorname {E} \left[{\widehat {\sigma }}^{2}\right]={\frac {n-1}{n}}\sigma ^{2}.}$

Este modelo básico con volatilidad constante es el punto de partida para modelos de volatilidad no estocásticos como el modelo de Black-Scholes y el modelo de Cox-Ross-Rubinstein . ${\displaystyle \sigma \,}$

Para un modelo de volatilidad estocástica, reemplace la volatilidad constante con una función que modele la varianza de . Esta función de varianza también se modela como movimiento browniano, y la forma depende del modelo SV particular que se esté estudiando. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \nu _{t}}$ ${\displaystyle S_{t}}$ ${\displaystyle \nu _{t}}$

${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+{\sqrt {\nu _{t}}}S_{t}\,dW_{t}\,}$

${\displaystyle d\nu _{t}=\alpha _{\nu ,t}\,dt+\beta _{\nu ,t}\,dB_{t}\,}$

donde y son algunas funciones de , y es otro gaussiano estándar que se correlaciona con un factor de correlación constante . ${\displaystyle \alpha _{\nu ,t}}$ ${\displaystyle \beta _{\nu ,t}}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle dB_{t}}$ ${\displaystyle dW_{t}}$ ${\displaystyle \rho }$

modelo heston

El popular modelo de Heston es un modelo SV de uso común, en el que la aleatoriedad del proceso de varianza varía como la raíz cuadrada de la varianza. En este caso, la ecuación diferencial de la varianza toma la forma:

${\displaystyle d\nu _{t}=\theta (\omega -\nu _{t})\,dt+\xi {\sqrt {\nu _{t}}}\,dB_{t}\,}$

donde es la varianza media a largo plazo, es la tasa a la que la varianza vuelve a su media a largo plazo, es la volatilidad del proceso de varianza y es, como , un gaussiano con media y varianza cero . Sin embargo, y están correlacionados con el valor de correlación constante . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle dB_{t}}$ ${\displaystyle dW_{t}}$ ${\displaystyle dt}$ ${\displaystyle dW_{t}}$ ${\displaystyle dB_{t}}$ ${\displaystyle \rho }$

En otras palabras, el modelo Heston SV supone que la varianza es un proceso aleatorio que

1. muestra una tendencia a revertirse hacia una media de largo plazo a un ritmo , ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \theta }$
2. exhibe una volatilidad proporcional a la raíz cuadrada de su nivel
3. y cuya fuente de aleatoriedad está correlacionada (con correlación ) con la aleatoriedad de los procesos de precios del subyacente. ${\displaystyle \rho }$

Algunas parametrizaciones de la superficie de volatilidad, como 'SVI', ^[2] se basan en el modelo de Heston.

modelo CEV

El modelo CEV describe la relación entre volatilidad y precio, introduciendo volatilidad estocástica:

${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}^{\,\gamma }\,dW_{t}}$

Conceptualmente, en algunos mercados la volatilidad aumenta cuando los precios suben (por ejemplo, las materias primas), por lo que . En otros mercados, la volatilidad tiende a aumentar a medida que caen los precios, modelado con . ${\displaystyle \gamma >1}$ ${\displaystyle \gamma <1}$

Algunos argumentan que debido a que el modelo CEV no incorpora su propio proceso estocástico de volatilidad, no es verdaderamente un modelo de volatilidad estocástica. En cambio, lo llaman modelo de volatilidad local .

Modelo de volatilidad SABR

El modelo SABR (Stochastic Alpha, Beta, Rho), introducido por Hagan et al. ^[3] describe un único forward (relacionado con cualquier activo, por ejemplo, un índice, tasa de interés, bono, moneda o acción) bajo volatilidad estocástica : ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle dF_{t}=\sigma _{t}F_{t}^{\beta }\,dW_{t},}$

${\displaystyle d\sigma _{t}=\alpha \sigma _{t}\,dZ_{t},}$

Los valores iniciales y son el precio a plazo actual y la volatilidad, mientras que y son dos procesos de Wiener correlacionados (es decir, movimientos brownianos) con coeficiente de correlación . Los parámetros constantes son tales que . ${\displaystyle F_{0}}$ ${\displaystyle \sigma _{0}}$ ${\displaystyle W_{t}}$ ${\displaystyle Z_{t}}$ ${\displaystyle -1<\rho <1}$ ${\displaystyle \beta ,\;\alpha }$ ${\displaystyle 0\leq \beta \leq 1,\;\alpha \geq 0}$

La característica principal del modelo SABR es poder reproducir el efecto de sonrisa de la volatilidad .

modelo GARCH

El modelo de heterocedasticidad condicional autorregresiva generalizada ( GARCH ) es otro modelo popular para estimar la volatilidad estocástica. Se supone que la aleatoriedad del proceso de varianza varía con la varianza, a diferencia de la raíz cuadrada de la varianza como en el modelo de Heston. El modelo estándar GARCH(1,1) tiene la siguiente forma para el diferencial de varianza continua: ^[4]

${\displaystyle d\nu _{t}=\theta (\omega -\nu _{t})\,dt+\xi \nu _{t}\,dB_{t}\,}$

El modelo GARCH se ha ampliado a través de numerosas variantes, incluidas NGARCH, TGARCH, IGARCH, LGARCH, EGARCH, GJR-GARCH, etc. Sin embargo, estrictamente, las volatilidades condicionales de los modelos GARCH no son estocásticas ya que en el momento t la volatilidad es completamente previa. -determinado (determinista) dados los valores anteriores. ^[5]

modelo 3/2

El modelo 3/2 es similar al modelo de Heston, pero supone que la aleatoriedad del proceso de varianza varía con . La forma del diferencial de varianza es: ${\displaystyle \nu _{t}^{3/2}}$

${\displaystyle d\nu _{t}=\nu _{t}(\omega -\theta \nu _{t})\,dt+\xi \nu _{t}^{3/2}\,dB_{t}.\,}$

Sin embargo, el significado de los parámetros es diferente al del modelo de Heston. En este modelo, tanto la reversión de la media como la volatilidad de los parámetros de varianza son cantidades estocásticas dadas por y respectivamente. ${\displaystyle \theta \nu _{t}}$ ${\displaystyle \xi \nu _{t}}$

Modelos aproximados de volatilidad

Utilizando la estimación de la volatilidad a partir de datos de alta frecuencia, se ha cuestionado la fluidez del proceso de volatilidad. ^[6] Se ha descubierto que la volatilidad logarítmica se comporta como un movimiento browniano fraccionario con exponente de orden de Hurst , en cualquier escala de tiempo razonable. Esto llevó a adoptar un modelo de volatilidad estocástica fraccionada (FSV), ^[7] que condujo a un FSV aproximado (RFSV) general, donde "aproximado" es para resaltarlo . El modelo RFSV es consistente con los datos de series temporales, lo que permite mejores pronósticos de la volatilidad realizada. ^[6] ${\displaystyle H=0.1}$ ${\displaystyle H<1/2}$

Calibración y estimación

Una vez que se elige un modelo SV particular, se debe calibrar con los datos de mercado existentes. La calibración es el proceso de identificar el conjunto de parámetros del modelo que probablemente se basen en los datos observados. Una técnica popular es utilizar la estimación de máxima verosimilitud (MLE). Por ejemplo, en el modelo de Heston, el conjunto de parámetros del modelo se puede estimar aplicando un algoritmo MLE como el método de conjunto dirigido de Powell [1] a observaciones de precios históricos de valores subyacentes. ${\displaystyle \Psi _{0}=\{\omega ,\theta ,\xi ,\rho \}\,}$

En este caso, se comienza con una estimación de , se calculan los errores residuales al aplicar los datos de precios históricos al modelo resultante y luego se ajusta para intentar minimizar estos errores. Una vez realizada la calibración, es una práctica estándar recalibrar el modelo periódicamente. ${\displaystyle \Psi _{0}\,}$ ${\displaystyle \Psi \,}$

Una alternativa a la calibración es la estimación estadística, que tiene en cuenta la incertidumbre de los parámetros. Se han propuesto e implementado muchos métodos frecuentistas y bayesianos, generalmente para un subconjunto de los modelos mencionados anteriormente. La siguiente lista contiene paquetes de extensión para el software estadístico de código abierto R que han sido diseñados específicamente para la estimación de heterocedasticidad. Los tres primeros atienden a modelos tipo GARCH con volatilidades deterministas; el cuarto trata de la estimación estocástica de la volatilidad.

• rugarch: ARFIMA, regresores externos en media y varios tipos de GARCH, con métodos de ajuste, pronóstico, simulación, inferencia y trazado. ^[8]
• fGarch: Parte del entorno Rmetrics para la enseñanza de "Ingeniería Financiera y Finanzas Computacionales".
• bayesGARCH: Estimación bayesiana del modelo GARCH(1,1) con innovaciones t de Student. ^[9]
• stochvol: algoritmos eficientes para la estimación totalmente bayesiana de modelos de volatilidad estocástica (SV) mediante métodos de cadena de Markov Monte Carlo (MCMC). ^{[10] [11]}

A lo largo del tiempo se han desarrollado muchos métodos numéricos que han resuelto la fijación de precios de activos financieros, como las opciones, con modelos de volatilidad estocástica. Una aplicación desarrollada recientemente es el modelo de volatilidad estocástica local. ^[12] Este modelo de volatilidad estocástica local ofrece mejores resultados en la fijación de precios de nuevos activos financieros, como las opciones de divisas.

También existen bibliotecas de estimación estadística alternativas en otros lenguajes como Python:

• PyFlux incluye soporte de inferencia clásica y bayesiana para modelos GARCH y beta-t-EGARCH.

Ver también

• Modelo negro-Scholes
• modelo heston
• Volatilidad local
• Markov cambiando multifractal
• Medida neutral al riesgo
• Modelo de volatilidad SABR
• Salto de la volatilidad estocástica
• subordinador
• Volatilidad
• Agrupación de volatilidad
• Volatilidad, incertidumbre, complejidad y ambigüedad

Referencias

1. Jim Gatheral (18 de septiembre de 2006). La superficie de volatilidad: una guía para el profesional. Wiley. ISBN 978-0-470-06825-0.
2. J Gatheral, A Jacquier (2014). "Superficies de volatilidad SVI sin arbitraje". Finanzas Cuantitativas . 14 : 59–71. arXiv : 1204.0646 . doi :10.1080/14697688.2013.819986. S2CID  41434372.
3. PS Hagan, D Kumar, A Lesniewski, DE Woodward (2002) Gestión del riesgo de sonrisa, Wilmott, 84-108.
4. Kluppelberg, Claudia; Lindner, Alejandro; Maller, Ross (septiembre de 2004). "Un proceso GARCH de tiempo continuo impulsado por un proceso de Lévy: estacionariedad y comportamiento de segundo orden". J. Aplica. Probablemente . 41 (3): 601–622. doi : 10.1239/jap/1091543413.
5. Brooks, Chris (2014). Introducción a la econometría para las finanzas (3ª ed.). Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 461.ISBN​ 9781107661455.
6. Jim Gatheral, Thibault Jaisson y Mathieu Rosenbaum (2018). La volatilidad es dura. Finanzas cuantitativas 18 (6), páginas 933-949
7. Fabienne Comte y Eric Renault (1998). Memoria larga en modelos de volatilidad estocástica de tiempo continuo. Matemáticas. Finanzas, 8(4), 291–323
8. Ghalanos, Alexios (20 de septiembre de 2023). "rugarch: modelos GARCH univariados".
9. Ardia, David; Hoogerheide, Lennart F. (2010). "Estimación bayesiana del modelo GARCH (1,1) con innovaciones Student-t" (PDF) . El Diario R. 2 (2): 41–47. doi :10.32614/RJ-2010-014. S2CID  17324384.
10. Kastner, Gregor (2016). "Abordar la volatilidad estocástica en series temporales utilizando el paquete R stochvol" (PDF) . Revista de software estadístico . 69 (5): 1–30. arXiv : 1906.12134 . doi : 10.18637/jss.v069.i05 .
11. Kastner, Gregor; Frühwirth-Schnatter, Sylvia (2014). "Estrategia de entrelazamiento de auxiliaridad-suficiencia (ASIS) para impulsar la estimación MCMC de modelos de volatilidad estocástica" (PDF) . Estadística Computacional y Análisis de Datos . 79 : 408–423. arXiv : 1706.05280 . doi :10.1016/j.csda.2013.01.002. S2CID  17019876.
12. van der Weijst, Roel (2017). "Soluciones numéricas para el modelo estocástico de volatilidad local". {{cite journal}}: Citar diario requiere |journal=( ayuda )

Fuentes

• Análisis de volatilidad estocástica y varianza media ^{[ enlace muerto permanente ]} , Hyungsok Ahn, Paul Wilmott, (2006).
• Una solución de forma cerrada para opciones con volatilidad estocástica, SL Heston, (1993).
• Arbitraje interno de volatilidad, Alireza Javaheri, (2005).
• Acelerar la calibración de modelos de volatilidad estocástica, Kilin, Fiodar (2006).