Volatilidad estocástica

Cuando la varianza es una variable aleatoria

En estadística, los modelos de volatilidad estocástica son aquellos en los que la varianza de un proceso estocástico se distribuye aleatoriamente. ^[1] Se utilizan en el campo de las finanzas matemáticas para evaluar valores derivados , como las opciones . El nombre deriva del tratamiento que hacen los modelos de la volatilidad del valor subyacente como un proceso aleatorio , gobernado por variables de estado como el nivel de precio del valor subyacente, la tendencia de la volatilidad a revertir a algún valor medio de largo plazo y la varianza del proceso de volatilidad en sí, entre otras.

Los modelos de volatilidad estocástica son un enfoque para resolver una deficiencia del modelo de Black-Scholes . En particular, los modelos basados ​​en Black-Scholes suponen que la volatilidad subyacente es constante durante la vida del derivado y no se ve afectada por los cambios en el nivel de precios del título subyacente. Sin embargo, estos modelos no pueden explicar características observadas durante mucho tiempo de la superficie de volatilidad implícita, como la sonrisa y el sesgo de volatilidad , que indican que la volatilidad implícita tiende a variar con respecto al precio de ejercicio y al vencimiento. Al suponer que la volatilidad del precio subyacente es un proceso estocástico en lugar de una constante, se hace posible modelar los derivados con mayor precisión.

Un punto intermedio entre el modelo Black-Scholes simple y los modelos de volatilidad estocástica lo constituyen los modelos de volatilidad local . En estos modelos, la volatilidad subyacente no presenta ninguna aleatoriedad nueva, pero tampoco es una constante. En los modelos de volatilidad local, la volatilidad es una función no trivial del activo subyacente, sin ninguna aleatoriedad adicional. Según esta definición, los modelos como el de elasticidad constante de la varianza serían modelos de volatilidad local, aunque a veces se los clasifica como modelos de volatilidad estocástica. La clasificación puede ser un poco ambigua en algunos casos.

La historia temprana de la volatilidad estocástica tiene múltiples raíces (es decir, proceso estocástico, fijación de precios de opciones y econometría), y se analiza en el Capítulo 1 de Neil Shephard (2005) "Stochastic Volatility", Oxford University Press.

Modelo básico

Partiendo de un enfoque de volatilidad constante, supongamos que el precio del activo subyacente del derivado sigue un modelo estándar de movimiento browniano geométrico :

${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t}\,}$

donde es la deriva constante (es decir, el rendimiento esperado) del precio del valor , es la volatilidad constante y es un proceso estándar de Wiener con media cero y tasa de varianza unitaria . La solución explícita de esta ecuación diferencial estocástica es ${\displaystyle \mu \,}$ ${\displaystyle S_{t}\,}$ ${\displaystyle \sigma \,}$ ${\displaystyle dW_{t}\,}$

${\displaystyle S_{t}=S_{0}e^{(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2})t+\sigma W_{t}}.}$

El estimador de máxima verosimilitud para estimar la volatilidad constante para precios de acciones determinados en diferentes momentos es ${\displaystyle \sigma \,}$ ${\displaystyle S_{t}\,}$ ${\displaystyle t_{i}\,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {\sigma }}^{2}&=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {(\ln S_{t_{i}}-\ln S_{t_{i-1}})^{2}}{t_{i}-t_{i-1}}}\right)-{\frac {1}{n}}{\frac {(\ln S_{t_{n}}-\ln S_{t_{0}})^{2}}{t_{n}-t_{0}}}\\&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(t_{i}-t_{i-1})\left({\frac {\ln {\frac {S_{t_{i}}}{S_{t_{i-1}}}}}{t_{i}-t_{i-1}}}-{\frac {\ln {\frac {S_{t_{n}}}{S_{t_{0}}}}}{t_{n}-t_{0}}}\right)^{2};\end{aligned}}}$

Su valor esperado es ${\displaystyle \operatorname {E} \left[{\widehat {\sigma }}^{2}\right]={\frac {n-1}{n}}\sigma ^{2}.}$

Este modelo básico con volatilidad constante es el punto de partida para modelos de volatilidad no estocásticos como el modelo Black-Scholes y el modelo Cox-Ross-Rubinstein . ${\displaystyle \sigma \,}$

Para un modelo de volatilidad estocástica, reemplace la volatilidad constante con una función que modele la varianza de . Esta función de varianza también se modela como movimiento browniano, y la forma de depende del modelo SV particular en estudio. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \nu _{t}}$ ${\displaystyle S_{t}}$ ${\displaystyle \nu _{t}}$

${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+{\sqrt {\nu _{t}}}S_{t}\,dW_{t}\,}$

${\displaystyle d\nu _{t}=\alpha _{\nu ,t}\,dt+\beta _{\nu ,t}\,dB_{t}\,}$

donde y son algunas funciones de , y es otra gaussiana estándar que está correlacionada con con un factor de correlación constante . ${\displaystyle \alpha _{\nu ,t}}$ ${\displaystyle \beta _{\nu ,t}}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle dB_{t}}$ ${\displaystyle dW_{t}}$ ${\displaystyle \rho }$

Modelo Heston

El popular modelo de Heston es un modelo SV de uso común, en el que la aleatoriedad del proceso de varianza varía según la raíz cuadrada de la varianza. En este caso, la ecuación diferencial para la varianza adopta la forma:

${\displaystyle d\nu _{t}=\theta (\omega -\nu _{t})\,dt+\xi {\sqrt {\nu _{t}}}\,dB_{t}\,}$

donde es la varianza media a largo plazo, es la tasa a la que la varianza vuelve hacia su media a largo plazo, es la volatilidad del proceso de varianza y es, como , una gaussiana con media y varianza cero. Sin embargo, y están correlacionadas con el valor de correlación constante . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle dB_{t}}$ ${\displaystyle dW_{t}}$ ${\displaystyle dt}$ ${\displaystyle dW_{t}}$ ${\displaystyle dB_{t}}$ ${\displaystyle \rho }$

En otras palabras, el modelo SV de Heston supone que la varianza es un proceso aleatorio que

1. exhibe una tendencia a revertirse hacia una media de largo plazo a una tasa , ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \theta }$
2. exhibe una volatilidad proporcional a la raíz cuadrada de su nivel
3. y cuya fuente de aleatoriedad está correlacionada (con correlación ) con la aleatoriedad de los procesos de precios del subyacente. ${\displaystyle \rho }$

Algunas parametrizaciones de la superficie de volatilidad, como 'SVI', ^[2] se basan en el modelo de Heston.

Modelo CEV

El modelo CEV describe la relación entre la volatilidad y el precio, introduciendo la volatilidad estocástica:

${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}^{\,\gamma }\,dW_{t}}$

En teoría, en algunos mercados la volatilidad aumenta cuando los precios suben (por ejemplo, los de las materias primas), por lo que . En otros mercados, la volatilidad tiende a aumentar cuando los precios bajan, lo que se modela con . ${\displaystyle \gamma >1}$ ${\displaystyle \gamma <1}$

Algunos sostienen que, como el modelo CEV no incorpora su propio proceso estocástico para la volatilidad, no es realmente un modelo de volatilidad estocástica. En cambio, lo denominan un modelo de volatilidad local .

Modelo de volatilidad SABR

El modelo SABR (Stochastic Alpha, Beta, Rho), introducido por Hagan et al. ^[3], describe un único forward (relacionado con cualquier activo, por ejemplo, un índice, una tasa de interés, un bono, una moneda o una acción) bajo volatilidad estocástica : ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle dF_{t}=\sigma _{t}F_{t}^{\beta }\,dW_{t},}$

${\displaystyle d\sigma _{t}=\alpha \sigma _{t}\,dZ_{t},}$

Los valores iniciales y son el precio forward actual y la volatilidad, mientras que y son dos procesos de Wiener correlacionados (es decir, movimientos brownianos) con coeficiente de correlación . Los parámetros constantes son tales que . ${\displaystyle F_{0}}$ ${\displaystyle \sigma _{0}}$ ${\displaystyle W_{t}}$ ${\displaystyle Z_{t}}$ ${\displaystyle -1<\rho <1}$ ${\displaystyle \beta ,\;\alpha }$ ${\displaystyle 0\leq \beta \leq 1,\;\alpha \geq 0}$

La característica principal del modelo SABR es poder reproducir el efecto de sonrisa de la volatilidad .

Modelo GARCH

El modelo de heterocedasticidad condicional autorregresiva generalizada ( GARCH ) es otro modelo popular para estimar la volatilidad estocástica. Supone que la aleatoriedad del proceso de varianza varía con la varianza, a diferencia de la raíz cuadrada de la varianza como en el modelo de Heston. El modelo GARCH(1,1) estándar tiene la siguiente forma para el diferencial de varianza continua: ^[4]

${\displaystyle d\nu _{t}=\theta (\omega -\nu _{t})\,dt+\xi \nu _{t}\,dB_{t}\,}$

El modelo GARCH se ha ampliado mediante numerosas variantes, entre las que se incluyen NGARCH, TGARCH, IGARCH, LGARCH, EGARCH, GJR-GARCH, Power GARCH, Component GARCH, etc. Sin embargo, estrictamente, las volatilidades condicionales de los modelos GARCH no son estocásticas ya que en el momento t la volatilidad está completamente predeterminada (determinista) dados los valores anteriores. ^[5]

Modelo 3/2

El modelo 3/2 es similar al modelo de Heston, pero supone que la aleatoriedad del proceso de varianza varía con . La forma del diferencial de varianza es: ${\displaystyle \nu _{t}^{3/2}}$

${\displaystyle d\nu _{t}=\nu _{t}(\omega -\theta \nu _{t})\,dt+\xi \nu _{t}^{3/2}\,dB_{t}.\,}$

Sin embargo, el significado de los parámetros es diferente del modelo de Heston. En este modelo, tanto los parámetros de reversión a la media como los de volatilidad de la varianza son cantidades estocásticas dadas por y respectivamente. ${\displaystyle \theta \nu _{t}}$ ${\displaystyle \xi \nu _{t}}$

Modelos de volatilidad aproximada

Utilizando la estimación de la volatilidad a partir de datos de alta frecuencia, se ha cuestionado la suavidad del proceso de volatilidad. ^[6] Se ha descubierto que la volatilidad logarítmica se comporta como un movimiento browniano fraccional con un exponente de Hurst de orden , en cualquier escala de tiempo razonable. Esto llevó a adoptar un modelo de volatilidad estocástica fraccional (FSV), ^[7] lo que lleva a una FSV aproximada general (RFSV) donde "aproximada" es para resaltar que . El modelo RFSV es consistente con los datos de series temporales, lo que permite pronósticos mejorados de la volatilidad realizada. ^{[6] [8]} ${\displaystyle H=0.1}$ ${\displaystyle H<1/2}$

Calibración y estimación

Una vez que se elige un modelo SV en particular, se lo debe calibrar en función de los datos de mercado existentes. La calibración es el proceso de identificar el conjunto de parámetros del modelo que tienen mayor probabilidad de ser válidos dados los datos observados. Una técnica popular es utilizar la estimación de máxima verosimilitud (MLE). Por ejemplo, en el modelo de Heston, el conjunto de parámetros del modelo se puede estimar aplicando un algoritmo MLE como el método de conjunto dirigido de Powell [1] a las observaciones de los precios históricos de los valores subyacentes. ${\displaystyle \Psi _{0}=\{\omega ,\theta ,\xi ,\rho \}\,}$

En este caso, se comienza con una estimación de , se calculan los errores residuales al aplicar los datos de precios históricos al modelo resultante y luego se realizan los ajustes necesarios para intentar minimizar estos errores. Una vez realizada la calibración, es una práctica habitual volver a calibrar el modelo periódicamente. ${\displaystyle \Psi _{0}\,}$ ${\displaystyle \Psi \,}$

Una alternativa a la calibración es la estimación estadística, que tiene en cuenta la incertidumbre de los parámetros. Se han propuesto e implementado muchos métodos frecuentistas y bayesianos, generalmente para un subconjunto de los modelos mencionados anteriormente. La siguiente lista contiene paquetes de extensión para el software estadístico de código abierto R que se han diseñado específicamente para la estimación de heterocedasticidad. Los primeros tres se ocupan de los modelos de tipo GARCH con volatilidades deterministas; el cuarto se ocupa de la estimación de volatilidad estocástica.

• rugarch: ARFIMA, regresores externos, en media y varias variantes de GARCH, con métodos de ajuste, pronóstico, simulación, inferencia y representación gráfica. ^[9]
• fGarch: Parte del entorno Rmetrics para la enseñanza de "Ingeniería Financiera y Finanzas Computacionales".
• bayesGARCH: Estimación bayesiana del modelo GARCH(1,1) con innovaciones t de Student. ^[10]
• stochvol: Algoritmos eficientes para la estimación totalmente bayesiana de modelos de volatilidad estocástica (SV) a través de métodos de Monte Carlo de cadena de Markov (MCMC). ^{[11] [12]}

A lo largo del tiempo se han desarrollado muchos métodos numéricos que han permitido determinar el precio de activos financieros, como las opciones, con modelos de volatilidad estocástica. Una aplicación desarrollada recientemente es el modelo de volatilidad estocástica local. ^[13] Este modelo de volatilidad estocástica local ofrece mejores resultados en la determinación del precio de nuevos activos financieros, como las opciones sobre divisas.

También existen bibliotecas de estimación estadística alternativas en otros lenguajes como Python:

• PyFlux incluye soporte de inferencia bayesiana y clásica para modelos GARCH y beta-t-EGARCH.

Véase también

• Modelo de Black-Scholes
• Modelo Heston
• Volatilidad local
• Cambios multifractales de Markov
• Medida neutral al riesgo
• Modelo de volatilidad SABR
• Salto de volatilidad estocástica
• Subordinador
• Volatilidad
• Agrupamiento de volatilidad
• Volatilidad, incertidumbre, complejidad y ambigüedad

Referencias

1. Jim Gatheral (18 de septiembre de 2006). La superficie de la volatilidad: una guía para profesionales. Wiley. ISBN 978-0-470-06825-0.
2. J Gatheral, A Jacquier (2014). "Superficies de volatilidad SVI sin arbitraje". Finanzas Cuantitativas . 14 : 59–71. arXiv : 1204.0646 . doi :10.1080/14697688.2013.819986. S2CID  41434372.
3. PS Hagan, D Kumar, A Lesniewski, DE Woodward (2002) Gestión del riesgo de la sonrisa, Wilmott, 84-108.
4. Kluppelberg, Claudia; Lindner, Alexander; Maller, Ross (septiembre de 2004). "Un proceso GARCH de tiempo continuo impulsado por un proceso de Lévy: estacionariedad y comportamiento de segundo orden". J. Appl. Probab . 41 (3): 601–622. doi :10.1239/jap/1091543413.
5. Brooks, Chris (2014). Introducción a la econometría para las finanzas (3.ª ed.). Cambridge: Cambridge University Press. pág. 461. ISBN 9781107661455.
6. Jim Gatheral, Thibault Jaisson y Mathieu Rosenbaum (2018). La volatilidad es dura. Finanzas cuantitativas 18(6), páginas 933-949
7. Fabienne Comte y Eric Renault (1998). Memoria larga en modelos de volatilidad estocástica de tiempo continuo. Math. Finance, 8(4), 291–323
8. Matthieu Garcin (2022). Pronóstico con movimiento browniano fraccional: una perspectiva financiera. Finanzas cuantitativas, 22(8), 1495-1512
9. Ghalanos, Alexios (20 de septiembre de 2023). "rugarch: modelos GARCH univariados".
10. Ardia, David; Hoogerheide, Lennart F. (2010). "Estimación bayesiana del modelo GARCH(1,1) con innovaciones de Student-t" (PDF) . The R Journal . 2 (2): 41–47. doi :10.32614/RJ-2010-014. S2CID  17324384.
11. Kastner, Gregor (2016). "Cómo manejar la volatilidad estocástica en series temporales utilizando el paquete R stochvol" (PDF) . Journal of Statistical Software . 69 (5): 1–30. arXiv : 1906.12134 . doi : 10.18637/jss.v069.i05 .
12. Kastner, Gregor; Frühwirth-Schnatter, Sylvia (2014). "Estrategia de entrelazamiento de suficiencia y agilidad (ASIS) para impulsar la estimación MCMC de modelos de volatilidad estocástica" (PDF) . Estadísticas computacionales y análisis de datos . 79 : 408–423. arXiv : 1706.05280 . doi :10.1016/j.csda.2013.01.002. S2CID  17019876.
13. van der Weijst, Roel (2017). "Soluciones numéricas para el modelo de volatilidad local estocástica". {{cite journal}}: Requiere citar revista |journal=( ayuda )

Fuentes

• Volatilidad estocástica y análisis de media-varianza ^{[ enlace muerto permanente ]} , Hyungsok Ahn, Paul Wilmott, (2006).
• Una solución de forma cerrada para opciones con volatilidad estocástica, SL Heston, (1993).
• Arbitraje interno de volatilidad, Alireza Javaheri, (2005).
• Aceleración de la calibración de modelos de volatilidad estocástica, Kilin, Fiodar (2006).