Sagitta (geometría)

Visualización de la sagitaria

En geometría , la sagitta (a veces abreviada como sag ^[1] ) de un arco circular es la distancia desde el punto medio del arco hasta el punto medio de su cuerda . ^[2] Se utiliza ampliamente en arquitectura al calcular el arco necesario para abarcar una cierta altura y distancia y también en óptica donde se utiliza para encontrar la profundidad de un espejo esférico o lente. El nombre proviene directamente del latín sagitta , que significa " flecha ".

Fórmulas

En las siguientes ecuaciones, denota la sagitta (la profundidad o altura del arco), es igual al radio del círculo y la longitud de la cuerda que abarca la base del arco. Como y son dos lados de un triángulo rectángulo con como hipotenusa , el teorema de Pitágoras nos da ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}l}$ ${\displaystyle r-s}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle r^{2}=\left({\tfrac {1}{2}}l\right)^{2}+\left(r-s\right)^{2}.}$

Esto se puede reorganizar para obtener cualquiera de los otros tres:

${\displaystyle {\begin{aligned}s&=r-{\sqrt {r^{2}-{\tfrac {1}{4}}l^{2}}},\\[10mu]l&=2{\sqrt {2rs-s^{2}}},\\[5px]r&={\frac {s^{2}+{\tfrac {1}{4}}l^{2}}{2s}}={\frac {s}{2}}+{\frac {l^{2}}{8s}}.\end{aligned}}}$

La sagitta también se puede calcular a partir de la función versine , para un arco que abarca un ángulo de Δ = 2 θ , y coincide con la versine para círculos unitarios.

${\displaystyle s=r\operatorname {versin} \theta =r\left(1-\cos \theta \right)=2r\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}.}$

Aproximación

Cuando la sagita es pequeña en comparación con el radio, se puede aproximar mediante la fórmula ^[2]

${\displaystyle s\approx {\frac {l^{2}}{8r}}.}$

Alternativamente, si la sagitta es pequeña y se conocen la sagitta, el radio y la longitud de la cuerda, se pueden utilizar para estimar la longitud del arco mediante la fórmula

${\displaystyle a\approx l+{\frac {2s^{2}}{r}}\approx l+{\frac {8s^{2}}{3l}},}$

donde a es la longitud del arco ; esta fórmula era conocida por el matemático chino Shen Kuo , y dos siglos más tarde Guo Shoujing desarrolló una fórmula más precisa ^{[ aclaración necesaria ]} que también involucraba la sagita . ^[3]

Aplicaciones

Los arquitectos, ingenieros y contratistas utilizan estas ecuaciones para crear arcos "aplanados" que se utilizan en paredes curvas, techos arqueados, puentes y muchas otras aplicaciones.

La sagita también tiene aplicaciones en física, donde se utiliza, junto con la longitud de la cuerda, para calcular el radio de curvatura de una partícula acelerada. Esto se utiliza especialmente en experimentos de cámara de burbujas , donde se utiliza para determinar los momentos de las partículas en desintegración. Asimismo, históricamente, la sagita también se utiliza como parámetro en el cálculo de cuerpos en movimiento en un sistema centrípeto. Este método se utiliza en los Principia de Newton .

Véase también

• Segmento circular
• Versina
• Jyā, koti-jyā y utkrama-jyā

Referencias

1. Shaneyfelt, Ted V. "Notas sobre círculos, estrellas y estrellas: ¿Qué es un hacovercoseno?". Hilo, Hawái: Universidad de Hawái . Archivado desde el original el 19 de septiembre de 2015. Consultado el 8 de noviembre de 2015 .
2. Woodward, Ernest (diciembre de 1978). Geometría: solución de problemas planos, sólidos y analíticos. Guías de solución de problemas. Asociación de Investigación y Educación (REA). pág. 359. ISBN 978-0-87891-510-1.
3. Needham, Noel Joseph Terence Montgomery (1959). Ciencia y civilización en China: matemáticas y ciencias de los cielos y la tierra. Vol. 3. Cambridge University Press . pág. 39. ISBN 9780521058018.

Enlaces externos

• Cálculo de la sagita de un arco