En matemáticas , una operación es una función de un conjunto sobre sí mismo. Por ejemplo, una operación sobre números reales tomará números reales y devolverá un número real. Una operación puede tomar cero o más valores de entrada (también llamados " operandos " o "argumentos") para obtener un valor de salida bien definido. La cantidad de operandos es la aridad de la operación.
Las operaciones que se estudian con más frecuencia son las operaciones binarias (es decir, operaciones de aridad 2), como la suma y la multiplicación , y las operaciones unarias (es decir, operaciones de aridad 1), como la inversa aditiva y la inversa multiplicativa . Una operación de aridad cero, u operación nularia , es una constante . [1] [2] El producto mixto es un ejemplo de una operación de aridad 3, también llamada operación ternaria .
Generalmente, se considera que la aridad es finita. Sin embargo, a veces se consideran operaciones infinitarias , [1] en cuyo caso las operaciones "usuales" de aridad finita se denominan operaciones finitarias .
Una operación parcial se define de manera similar a una operación, pero con una función parcial en lugar de una función.
Existen dos tipos comunes de operaciones: unarias y binarias . Las operaciones unarias involucran solo un valor, como la negación y las funciones trigonométricas . [3] Las operaciones binarias, por otro lado, toman dos valores e incluyen la suma , la resta , la multiplicación , la división y la exponenciación . [4]
Las operaciones pueden involucrar objetos matemáticos distintos de números. Los valores lógicos verdadero y falso pueden combinarse usando operaciones lógicas , como y , o y no . Los vectores pueden sumarse y restarse. [5] Las rotaciones pueden combinarse usando la operación de composición de funciones , realizando la primera rotación y luego la segunda. Las operaciones sobre conjuntos incluyen las operaciones binarias unión e intersección y la operación unaria de complementación . [6] [7] [8] Las operaciones sobre funciones incluyen composición y convolución . [9] [10]
Las operaciones no pueden definirse para cada valor posible de su dominio . Por ejemplo, en los números reales no se puede dividir por cero [11] ni sacar raíces cuadradas de números negativos. Los valores para los que se define una operación forman un conjunto llamado su dominio de definición o dominio activo . El conjunto que contiene los valores producidos se llama codominio , pero el conjunto de valores reales alcanzados por la operación es su codominio de definición, codominio activo, imagen o rango . [12] Por ejemplo, en los números reales, la operación de elevar al cuadrado solo produce números no negativos; el codominio es el conjunto de números reales, pero el rango son los números no negativos.
Las operaciones pueden involucrar objetos diferentes: un vector puede ser multiplicado por un escalar para formar otro vector (una operación conocida como multiplicación escalar ), [13] y la operación de producto interno sobre dos vectores produce una cantidad que es escalar. [14] [15] Una operación puede tener o no ciertas propiedades, por ejemplo, puede ser asociativa , conmutativa , anticonmutativa , idempotente , etc.
Los valores combinados se denominan operandos , argumentos o entradas , y el valor producido se denomina valor , resultado o salida . Las operaciones pueden tener menos o más de dos entradas (incluido el caso de entrada cero y entradas infinitas [1] ).
Un operador es similar a una operación en el sentido de que se refiere al símbolo o proceso utilizado para denotar la operación, por lo que su punto de vista es diferente. Por ejemplo, a menudo se habla de "la operación de adición" o "la operación de adición", cuando se centra la atención en los operandos y el resultado, pero se cambia a "operador de adición" (raramente "operador de adición"), cuando se centra la atención en el proceso, o desde el punto de vista más simbólico, la función +: X × X → X (donde X es un conjunto como el conjunto de números reales).
Una operación n -aria ω sobre un conjunto X es una función ω : X n → X . El conjunto X n se denomina dominio de la operación, el conjunto de salida se denomina codominio de la operación y el entero fijo no negativo n (el número de operandos) se denomina aridad de la operación. Por tanto, una operación unaria tiene aridad uno y una operación binaria tiene aridad dos. Una operación de aridad cero, llamada operación nularia , es simplemente un elemento del codominio Y . Una operación n -aria también puede verse como una relación ( n + 1) -aria que es total en sus n dominios de entrada y única en su dominio de salida.
Una operación parcial n -aria ω de X n a X es una función parcial ω : X n → X . Una operación parcial n -aria también puede verse como una relación ( n + 1) -aria que es única en su dominio de salida.
Lo anterior describe lo que generalmente se denomina una operación finita , que hace referencia al número finito de operandos (el valor n ). Existen extensiones obvias en las que la aridad se toma como un ordinal o cardinal infinito , [1] o incluso un conjunto arbitrario que indexa los operandos.
A menudo, el uso del término operación implica que el dominio de la función incluye una potencia del codominio (es decir, el producto cartesiano de una o más copias del codominio), [16] aunque esto no es de ninguna manera universal, como en el caso del producto escalar , donde los vectores se multiplican y dan como resultado un escalar. Una operación n -aria ω : X n → X se llamaoperación interna . Unan-aria ω : X i × S × X n − i − 1 → X donde0 ≤ i < n se denominaoperación externapor elconjunto escalaroconjunto de operadores S. En particular para una operación binaria, ω : S × X → X se denominaoperación externa izquierdaporS, y ω : X × S → X se denominaoperación externa derechaporS. Un ejemplo de una operación interna esla suma de vectores, donde se suman dos vectores y el resultado es un vector. Un ejemplo de una operación externa esla multiplicación escalar, donde un vector se multiplica por un escalar y el resultado es un vector.
Una multifunción n -aria oLa multioperación ωes una aplicación de una potencia cartesiana de un conjunto al conjunto de subconjuntos de ese conjunto, formalmente.[17]
