Intersección (teoría de conjuntos)

Conjunto de elementos comunes a todos de algunos conjuntos.

En teoría de conjuntos , la intersección de dos conjuntos y denotada por ^[1] es el conjunto que contiene todos los elementos que también pertenecen o, de manera equivalente, todos los elementos que también pertenecen a ^[2] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle A\cap B,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A.}$

Notación y terminología

La intersección se escribe utilizando el símbolo " " entre los términos; es decir, en notación infija . Por ejemplo: La intersección de más de dos conjuntos (intersección generalizada) se puede escribir como: que es similar a la notación sigma mayúscula . ${\displaystyle \cap }$ $${\displaystyle \{1,2,3\}\cap \{2,3,4\}=\{2,3\}}$$ $${\displaystyle \{1,2,3\}\cap \{4,5,6\}=\varnothing }$$ $${\displaystyle \mathbb {Z} \cap \mathbb {N} =\mathbb {N} }$$ $${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x^{2}=1\}\cap \mathbb {N} =\{1\}}$$ $${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}A_{i}}$$

Para obtener una explicación de los símbolos utilizados en este artículo, consulte la tabla de símbolos matemáticos .

Definición

Intersección de tres conjuntos:
${\displaystyle ~A\cap B\cap C}$

Intersecciones de las escrituras griega , latina y cirílica moderna sin acento , considerando solo las formas de las letras e ignorando su pronunciación.

Ejemplo de intersección con conjuntos.

La intersección de dos conjuntos y denotada por , ^[3] es el conjunto de todos los objetos que son miembros tanto de los conjuntos como de los símbolos: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle A\cap B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$ $${\displaystyle A\cap B=\{x:x\in A{\text{ and }}x\in B\}.}$$

Es decir, es un elemento de la intersección si y sólo si es a la vez elemento de y elemento de ^[3] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A\cap B}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$

Por ejemplo:

• La intersección de los conjuntos {1, 2, 3} y {2, 3, 4} es {2, 3}.
• El número 9 no está en la intersección del conjunto de los números primos {2, 3, 5, 7, 11,...} y el conjunto de los números impares {1, 3, 5, 7, 9, 11,.. .}, porque 9 no es primo.

Conjuntos intersecantes y disjuntos

Nosotros decimos eso ${\displaystyle A}$se cruza (se encuentra) ${\displaystyle B}$ si existe algunoque sea elemento de ambosyen cuyo caso también decimos quese cruza (se encuentra) en . De manera equivalente,se cruzasi su intersecciónes un conjunto habitado , lo que significa que existe algotal que ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\cap B}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\in A\cap B.}$

Decimos que y son disjuntos si no se cruzan. En lenguaje sencillo, no tienen elementos en común. y son disjuntos si su intersección está vacía , denotado ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\cap B=\varnothing .}$

Por ejemplo, los conjuntos y son disjuntos, mientras que el conjunto de números pares intersecta al conjunto de múltiplos de 3 en los múltiplos de 6. ${\displaystyle \{1,2\}}$ ${\displaystyle \{3,4\}}$

Propiedades algebraicas

La intersección binaria es una operación asociativa ; es decir, para cualquier conjunto y uno tiene ${\displaystyle A,B,}$ ${\displaystyle C,}$

$${\displaystyle A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C.}$$Por tanto, los paréntesis pueden omitirse sin ambigüedad: cualquiera de los anteriores puede escribirse como . La intersección también es conmutativa . Es decir, para cualquiera y uno tiene La intersección de cualquier conjunto con el conjunto vacío da como resultado el conjunto vacío; es decir, que para cualquier conjunto , además, la operación de intersección es idempotente ; es decir, cualquier conjunto satisface eso . Todas estas propiedades se derivan de hechos análogos sobre la conjunción lógica . ${\displaystyle A\cap B\cap C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$ $${\displaystyle A\cap B=B\cap A.}$$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle A\cap \varnothing =\varnothing }$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\cap A=A}$

La intersección se distribuye sobre la unión y la unión se distribuye sobre la intersección. Es decir, para cualquier conjunto y que uno tenga Dentro de un universo se puede definir el complemento de como el conjunto de todos los elementos de no en Además, la intersección de y puede escribirse como el complemento de la unión de sus complementos, derivado fácilmente de Leyes de De Morgan : ${\displaystyle A,B,}$ ${\displaystyle C,}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\\A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle A^{c}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle A\cap B=\left(A^{c}\cup B^{c}\right)^{c}}$$

Intersecciones arbitrarias

La noción más general es la intersección de una colección arbitraria de conjuntos no vacíos . Si es un conjunto no vacío cuyos elementos son en sí mismos conjuntos, entonces es un elemento de la intersección de si y sólo si para cada elemento de es un elemento de En símbolos: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A.}$ $${\displaystyle \left(x\in \bigcap _{A\in M}A\right)\Leftrightarrow \left(\forall A\in M,\ x\in A\right).}$$

La notación de este último concepto puede variar considerablemente. Los teóricos de conjuntos a veces escriben " ", mientras que otros escriben " ". La última notación se puede generalizar a " ", que se refiere a la intersección de la colección. Aquí hay un conjunto no vacío y es un conjunto para cada ${\displaystyle \bigcap M}$ ${\displaystyle {\bigcap }_{A\in M}A}$ ${\displaystyle {\bigcap }_{i\in I}A_{i}}$ ${\displaystyle \left\{A_{i}:i\in I\right\}.}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle i\in I.}$

En el caso de que el conjunto índice sea el conjunto de los números naturales , se podrá ver una notación análoga a la de un producto infinito : ${\displaystyle I}$ $${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}.}$$

Cuando el formateo resulta complicado, también se puede escribir " ". Este último ejemplo, una intersección de muchos conjuntos contables, es en realidad muy común; para ver un ejemplo, consulte el artículo sobre σ-álgebras . ${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \cdots }$

intersección nula

Conjunciones de los argumentos entre paréntesis

La conjunción de ningún argumento es la tautología (compárese: producto vacío ); en consecuencia, la intersección de ningún conjunto es el universo .

En la sección anterior, excluimos el caso donde estaba el conjunto vacío ( ). El motivo es el siguiente: la intersección de la colección se define como el conjunto (consulte la notación del constructor de conjuntos ) . Si está vacía, no hay conjuntos , por lo que la pregunta es " ¿cuáles satisfacen la condición establecida?" La respuesta parece ser todas las posibles . Cuando está vacía, la condición dada anteriormente es un ejemplo de verdad vacía . Entonces, la intersección de la familia vacía debería ser el conjunto universal (el elemento de identidad para la operación de intersección), ^[4] pero en la teoría de conjuntos estándar ( ZF ), el conjunto universal no existe. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle \bigcap _{A\in M}A=\{x:{\text{ for all }}A\in M,x\in A\}.}$$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$

Sin embargo, cuando se restringe al contexto de subconjuntos de un conjunto fijo dado , la noción de intersección de una colección vacía de subconjuntos de está bien definida. En ese caso, si está vacío, su intersección es . Dado que todos satisfacen vacíamente la condición requerida, la intersección de la colección vacía de subconjuntos de es todo de en las fórmulas. Esto coincide con la intuición de que a medida que las colecciones de subconjuntos se vuelven más pequeñas, sus respectivas intersecciones se hacen más grandes; en el caso extremo, la colección vacía tiene una intersección igual a todo el conjunto subyacente. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \bigcap M=\bigcap \varnothing =\{x\in X:x\in A{\text{ for all }}A\in \varnothing \}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \bigcap \varnothing =X.}$

Además, en la teoría de tipos es de un tipo prescrito, por lo que se entiende que la intersección es de tipo (el tipo de conjuntos cuyos elementos están en ), y podemos definirla como el conjunto universal de (el conjunto cuyos elementos son exactamente todos términos de tipo ). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \tau ,}$ ${\displaystyle \mathrm {set} \ \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \bigcap _{A\in \emptyset }A}$ ${\displaystyle \mathrm {set} \ \tau }$ ${\displaystyle \tau }$

Ver también

• Álgebra de conjuntos  : identidades y relaciones que involucran conjuntos
• Cardinalidad  : definición del número de elementos en un conjunto.
• Complemento  : conjunto de elementos que no están en un subconjunto determinado.
• Intersección (geometría euclidiana)  : forma formada a partir de puntos comunes a otras formasPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Gráfico de intersección  : gráfico que representa intersecciones entre conjuntos dados.
• Teoría de la intersección  - Rama de la geometría algebraica
• Lista de identidades y relaciones de conjuntos  - Igualdades para combinaciones de conjuntos
• Conjunción lógica  – Conectiva lógica Y
• MinHash  – Técnica de minería de datos
• Teoría de conjuntos ingenua  - Teorías de conjuntos informales
• Diferencia simétrica  : elementos en exactamente uno de dos conjuntos
• Unión  : conjunto de elementos en cualquiera de algunos conjuntos.

Referencias

1. "Intersección de conjuntos". web.mnstate.edu . Archivado desde el original el 4 de agosto de 2020 . Consultado el 4 de septiembre de 2020 .
2. "Estadísticas: reglas de probabilidad". Gente.richland.edu . Consultado el 8 de mayo de 2012 .
3. "Operaciones de conjuntos | Unión | Intersección | Complemento | Diferencia | Mutuamente excluyentes | Particiones | Ley de De Morgan | Ley distributiva | Producto cartesiano". www.probabilitycourse.com . Consultado el 4 de septiembre de 2020 .
4. Megginson, Robert E. (1998). "Capítulo 1". Una introducción a la teoría del espacio de Banach . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 183. Nueva York: Springer-Verlag. págs.xx+596. ISBN 0-387-98431-3.

Otras lecturas

• Devlin, KJ (1993). La alegría de los conjuntos: fundamentos de la teoría de conjuntos contemporánea (Segunda ed.). Nueva York, Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-94094-4.
• Munkres, James R. (2000). "Teoría y lógica de conjuntos". Topología (Segunda ed.). Río Upper Saddle: Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
• Rosen, Kenneth (2007). "Estructuras básicas: conjuntos, funciones, secuencias y sumas". Matemáticas discretas y sus aplicaciones (Sexta ed.). Boston: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-322972-0.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Intersección". MundoMatemático .