Distribución de probabilidad continua
En teoría de probabilidad y estadística , la distribución F o relación F , también conocida como distribución F de Snedecor o distribución de Fisher-Snedecor (en honor a Ronald Fisher y George W. Snedecor ), es una distribución de probabilidad continua que surge con frecuencia como distribución nula. de una estadística de prueba , sobre todo en el análisis de varianza (ANOVA) y otras pruebas F. [2] [3] [4] [5]
Definición
La distribución F con d 1 y d 2 grados de libertad es la distribución de
![{\displaystyle X={\frac {U_{1}/d_{1}}{U_{2}/d_{2}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde y son variables aleatorias independientes con distribuciones chi-cuadrado con respectivos grados de libertad y .![{\estilo de texto U_ {1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de texto U_ {2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de texto d_ {1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de texto d_ {2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Se puede demostrar que la función de densidad de probabilidad (pdf) para X está dada por
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x;d_{1},d_{2})&={\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}x)^{d_{1}}\ ,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\operatorname {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\\[5pt]&={\frac {1}{\ nombre del operador {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left({\frac {d_{1} }{d_{2}}}\right)^{\frac {d_{1}}{2}}x^{{\frac {d_{1}}{2}}-1}\left(1+{ \frac {d_{1}}{d_{2}}}\,x\right)^{-{\frac {d_{1}+d_{2}}{2}}}\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
para x real > 0. Aquí está la función beta . En muchas aplicaciones, los parámetros d 1 y d 2 son números enteros positivos , pero la distribución está bien definida para valores reales positivos de estos parámetros.![{\displaystyle \mathrm {B} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La función de distribución acumulativa es
![{\displaystyle F(x;d_{1},d_{2})=I_{d_{1}x/(d_{1}x+d_{2})}\left({\tfrac {d_{1} }{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde I es la función beta incompleta regularizada .
La expectativa, la varianza y otros detalles sobre F( d 1 , d 2 ) se dan en el cuadro lateral; para d 2 > 8, el exceso de curtosis es
![{\displaystyle \gamma _{2}=12{\frac {d_{1}(5d_{2}-22)(d_{1}+d_{2}-2)+(d_{2}-4)( d_{2}-2)^{2}}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El k -ésimo momento de una distribución F( d 1 , d 2 ) existe y es finito sólo cuando 2 k < d 2 y es igual a
[6]
La distribución F es una parametrización particular de la distribución beta prima , que también se denomina distribución beta de segundo tipo.
La función característica aparece incorrectamente en muchas referencias estándar (p. ej., [3] ). La expresión correcta [7] es
![{\displaystyle \varphi _{d_{1},d_{2}}^{F}(s)={\frac {\Gamma \left({\frac {d_{1}+d_{2}}{2 }}\right)}{\Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}}U\!\left({\frac {d_{1}}{2}}, 1-{\frac {d_{2}}{2}},-{\frac {d_{2}}{d_{1}}}\imath s\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde U ( a , b , z ) es la función hipergeométrica confluente del segundo tipo.
Caracterización
Una variable aleatoria de la distribución F con parámetros y surge como la relación de dos variables de chi-cuadrado adecuadamente escaladas : [8]![{\ Displaystyle d_ {1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle d_ {2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X={\frac {U_{1}/d_{1}}{U_{2}/d_{2}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dónde
En los casos en los que se utiliza la distribución F , por ejemplo en el análisis de varianza , la independencia de y podría demostrarse aplicando el teorema de Cochran .![{\ Displaystyle U_ {1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle U_ {2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
De manera equivalente, la variable aleatoria de la distribución F también se puede escribir
![{\displaystyle X={\frac {s_{1}^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}\div {\frac {s_{2}^{2}}{\sigma _ {2}^{2}}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde y , es la suma de cuadrados de variables aleatorias de distribución normal y es la suma de cuadrados de variables aleatorias de distribución normal . [ discutir ] [ cita necesaria ]![{\displaystyle s_{1}^{2}={\frac {S_{1}^{2}}{d_{1}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle s_{2}^{2}={\frac {S_{2}^{2}}{d_{2}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle S_{1}^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle d_ {1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle N(0,\sigma _ {1}^{2})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle S_{2}^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle d_ {2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle N (0, \ sigma _ {2} ^ {2})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Por lo tanto, en un contexto frecuentista , una distribución F escalada da la probabilidad , con la distribución F en sí, sin ninguna escala, aplicándose donde se toma igual a . Este es el contexto en el que la distribución F aparece más generalmente en las pruebas F : donde la hipótesis nula es que dos varianzas normales independientes son iguales, y luego se examinan las sumas observadas de algunos cuadrados adecuadamente seleccionados para ver si su relación es significativamente incompatible con esta hipótesis nula.![{\displaystyle p(s_{1}^{2}/s_{2}^{2}\mid \sigma _{1}^{2},\sigma _{2}^{2})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sigma _{1}^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sigma _{2}^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La cantidad tiene la misma distribución en las estadísticas bayesianas, si se toma un previo de Jeffreys invariante de reescalado no informativo para las probabilidades previas de y . [9] En este contexto, una distribución F escalada proporciona la probabilidad posterior , donde las sumas observadas y ahora se consideran conocidas.![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sigma _{1}^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sigma _{2}^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p(\sigma _{2}^{2}/\sigma _{1}^{2}\mid s_{1}^{2},s_{2}^{2})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle s_{1}^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle s_{2}^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Propiedades y distribuciones relacionadas.
- Si y ( distribución Chi cuadrado ) son independientes , entonces
![{\displaystyle X\sim \chi _{d_{1}}^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Y\sim \chi _{d_{2}}^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\frac {X/d_{1}}{Y/d_{2}}}\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Si ( distribución gamma ) son independientes, entonces
![{\displaystyle X_{k}\sim \Gamma (\alpha _ {k},\beta _ {k})\,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\frac {\alpha _ {2}\beta _ {1}X_ {1}}{\alpha _ {1} \beta _ {2}X_ {2}}} \ sim \mathrm {F} (2\alpha _{1},2\alpha _{2})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Si ( distribución Beta ) entonces
![{\displaystyle X\sim \operatorname {Beta} (d_{1}/2,d_{2}/2)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\frac {d_{2}X}{d_{1}(1-X)}}\sim \operatorname {F} (d_{1},d_{2})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- De manera equivalente, si , entonces .
![{\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\frac {d_{1}X/d_{2}}{1+d_{1}X/d_{2}}}\sim \operatorname {Beta} (d_{1}/2,d_{ 2}/2)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Si , entonces tiene una distribución beta prima : .
![{\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\frac {d_{1}}{d_{2}}}X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\frac {d_{1}}{d_{2}}}X\sim \operatorname {\beta ^{\prime }} \left({\tfrac {d_{1}}{2}}, {\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Si entonces tiene la distribución chi-cuadrado
![{\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \chi _{d_{1}}^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es equivalente a la distribución T cuadrada de Hotelling escalada .![{\displaystyle {\frac {d_{2}}{d_{1}(d_{1}+d_{2}-1)}}\operatorname {T} ^{2}(d_{1},d_{1) }+d_{2}-1)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Si entonces .
![{\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X^{-1}\sim F(d_{2},d_{1})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Si es la distribución t de Student , entonces:
![{\displaystyle X\sim t_{(n)}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}X^{2}&\sim \operatorname {F} (1,n)\\X^{-2}&\sim \operatorname {F} (n,1)\end {alineado}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- La distribución F es un caso especial de distribución de Pearson tipo 6
- Si y son independientes, con Laplace( μ , b ) entonces
![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\frac {|X-\mu |}{|Y-\mu |}}\sim \operatorname {F} (2,2)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Si entonces ( distribución z de Fisher )
![{\displaystyle X\sim F(n,m)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\tfrac {\log {X}}{2}}\sim \operatorname {FisherZ} (n,m)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- La distribución F no central se simplifica a la distribución F si .
![{\displaystyle \lambda =0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- La distribución F doblemente no central se simplifica a la distribución F si
![{\displaystyle \lambda _ {1} = \ lambda _ {2} = 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Si es el cuantil p para y es el cuantil para , entonces
![{\displaystyle \operatorname {Q} _ {X}(p)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {Q} _ {Y}(1-p)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 1-p}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Y\sim F(d_{2},d_{1})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {Q} _{X}(p)={\frac {1}{\operatorname {Q} _{Y}(1-p)}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- La distribución F es un ejemplo de distribuciones de razones
- La distribución W [10] es una parametrización única de la distribución F.
Ver también
- Distribución beta primaria
- Distribución chi-cuadrado
- prueba de comida
- Distribución gamma
- Distribución T cuadrada de Hotelling
- Distribución lambda de Wilks
- distribución de deseos
- La distribución seminormal modificada [11] con la pdf activada se proporciona como , donde denota la función Psi de Fox-Wright .
![{\displaystyle (0,\infty)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(x)={\frac {2\beta ^{\frac {\alpha }{2}}x^{\alpha -1}\exp(-\beta x^{2}+\gamma x )}{\Psi {\left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Psi (\alpha ,z)={}_{1}\Psi _{1}\left({\begin{matrix}\left(\alpha ,{\frac {1}{2}}\ derecha)\\(1,0)\end{matrix}};z\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Referencias
- ^ Lazo, AV; Rathie, P. (1978). "Sobre la entropía de distribuciones de probabilidad continuas". Transacciones IEEE sobre teoría de la información . 24 (1). IEEE: 120–122. doi :10.1109/tit.1978.1055832.
- ^ ab Johnson, Norman Lloyd; Samuel Kotz; N. Balakrishnan (1995). Distribuciones univariadas continuas, volumen 2 (segunda edición, sección 27) . Wiley. ISBN 0-471-58494-0.
- ^ abc Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 26". Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. vol. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. pag. 946.ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. SEÑOR 0167642. LCCN 65-12253.
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- ^ DeGroot, MH (1986). Probabilidad y Estadística (2ª ed.). Addison-Wesley. pag. 500.ISBN 0-201-11366-X.
- ^ Caja, GEP; Tiao, GC (1973). Inferencia bayesiana en análisis estadístico . Addison-Wesley. pag. 110.ISBN 0-201-00622-7.
- ^ Mahmoudi, Amin; Javed, Saad Ahmed (octubre de 2022). "Enfoque probabilístico para la evaluación de proveedores en varias etapas: medición del nivel de confianza en el enfoque de prioridad ordinal". Decisión y negociación grupal . 31 (5): 1051-1096. doi :10.1007/s10726-022-09790-1. ISSN 0926-2644. PMC 9409630 . PMID 36042813.
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enlaces externos
- Tabla de valores críticos de la distribución F.
- Usos más tempranos de algunas de las palabras de matemáticas: la entrada sobre distribución F contiene una breve historia
- Calculadora gratuita para pruebas F