Deflexión (ingeniería)

Grado en que parte de un elemento estructural se desplaza bajo una carga determinada.

Deflexión (f) en ingeniería

En ingeniería estructural , la deflexión es el grado en que una parte de un elemento estructural largo (como una viga ) se deforma lateralmente (en la dirección transversal a su eje longitudinal) bajo una carga . Puede cuantificarse en términos de un ángulo ( desplazamiento angular ) o una distancia ( desplazamiento lineal ). Una deformación longitudinal (en la dirección del eje) se llama alargamiento .

La distancia de deflexión de un miembro bajo una carga se puede calcular integrando la función que describe matemáticamente la pendiente de la forma deflectada del miembro bajo esa carga. Existen fórmulas estándar para la deflexión de configuraciones de vigas comunes y casos de carga en ubicaciones discretas. En caso contrario se utilizan métodos como el trabajo virtual , la integración directa , el método de Castigliano , el método de Macaulay o el método directo de la rigidez . La deflexión de los elementos de una viga generalmente se calcula sobre la base de la ecuación de viga de Euler-Bernoulli, mientras que la de un elemento de placa o capa se calcula utilizando la teoría de placas o capa .

Un ejemplo del uso de la desviación en este contexto es la construcción de edificios. Los arquitectos e ingenieros seleccionan materiales para diversas aplicaciones.

Deflexión de la viga para diversas cargas y soportes.

Las vigas pueden variar mucho en su geometría y composición. Por ejemplo, una viga puede ser recta o curva. Puede tener una sección transversal constante o puede estrecharse. Puede estar fabricado íntegramente del mismo material (homogéneo) o puede estar compuesto de diferentes materiales (compuesto). Algunas de estas cosas dificultan el análisis, pero muchas aplicaciones de ingeniería implican casos que no son tan complicados. El análisis se simplifica si:

• La viga es originalmente recta y cualquier conicidad es leve.
• La viga experimenta sólo deformación elástica lineal.
• La viga es esbelta (su relación longitud-altura es superior a 10)
• Sólo se consideran pequeñas deflexiones (deflexión máxima inferior a 1/10 del claro ).

En este caso, la ecuación que gobierna la deflexión de la viga ( ) se puede aproximar como: ${\displaystyle w}$

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}w(x)}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {M(x)}{E(x)I(x)}}}$$

módulo de Youngmomento de inercia del áreamomento flector ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle M}$

Si, además, la viga no es cónica y es homogénea , y sobre ella actúa una carga distribuida , la expresión anterior se puede escribir como : ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle EI~{\frac {\mathrm {d} ^{4}w(x)}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x)}$

Esta ecuación se puede resolver para una variedad de condiciones de carga y de contorno. A continuación se muestran varios ejemplos sencillos. Las fórmulas expresadas son aproximaciones desarrolladas para vigas prismáticas largas, esbeltas, homogéneas, con pequeñas deflexiones y propiedades elásticas lineales. Bajo estas restricciones, las aproximaciones deberían dar resultados dentro del 5% de la deflexión real.

Vigas voladizas

Las vigas en voladizo tienen un extremo fijo, de modo que la pendiente y la deflexión en ese extremo deben ser cero.

Esquema de la deflexión de una viga en voladizo.

Vigas en voladizo cargadas en los extremos

Viga en voladizo con una fuerza en el extremo libre.

La deflexión elástica y el ángulo de deflexión (en radianes ) en el extremo libre en la imagen de ejemplo: Una viga en voladizo (ingrávida) , con una carga en los extremos, se puede calcular (en el extremo libre B) usando: ^[1] ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{B}&={\frac {FL^{3}}{3EI}}\\[1ex]\phi _{B}&={\frac {FL^{2}}{2EI}}\end{aligned}}}$$

• ${\displaystyle F}$= fuerza que actúa sobre la punta de la viga
• ${\displaystyle L}$= longitud de la viga (luz)
• ${\displaystyle E}$= módulo de elasticidad
• ${\displaystyle I}$= momento de inercia del área de la sección transversal de la viga

Tenga en cuenta que si la luz se duplica, la deflexión se multiplica por ocho. La deflexión en cualquier punto, , a lo largo del claro de una viga en voladizo cargada en los extremos se puede calcular usando: ^[1] ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{x}&={\frac {Fx^{2}}{6EI}}(3L-x)\\[1ex]\phi _{x}&={\frac {Fx}{2EI}}(2L-x)\end{aligned}}}$$

Nota: En (el extremo de la viga), las ecuaciones y son idénticas a las ecuaciones y anteriores. ${\displaystyle x=L}$ ${\displaystyle \delta _{x}}$ ${\displaystyle \phi _{x}}$ ${\displaystyle \delta _{B}}$ ${\displaystyle \phi _{B}}$

Vigas en voladizo cargadas uniformemente

Viga voladiza con carga uniformemente distribuida.

La deflexión, en el extremo libre B, de una viga en voladizo bajo una carga uniforme viene dada por: ^[1]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{B}&={\frac {qL^{4}}{8EI}}\\[1ex]\phi _{B}&={\frac {qL^{3}}{6EI}}\end{aligned}}}$$

• ${\displaystyle q}$= carga uniforme sobre la viga (fuerza por unidad de longitud)
• ${\displaystyle L}$= longitud de la viga
• ${\displaystyle E}$= módulo de elasticidad
• ${\displaystyle I}$= área momento de inercia de la sección transversal

La deflexión en cualquier punto, , a lo largo del tramo de una viga en voladizo cargada uniformemente se puede calcular usando: ^[1] ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{x}&={\frac {qx^{2}}{24EI}}\left(6L^{2}-4Lx+x^{2}\right)\\[1ex]\phi _{x}&={\frac {qx}{6EI}}\left(3L^{2}-3Lx+x^{2}\right)\end{aligned}}}$$

Vigas simplemente apoyadas

Las vigas simplemente apoyadas tienen soportes debajo de sus extremos que permiten la rotación, pero no la deflexión.

Esquema de la deflexión de una viga simplemente apoyada.

Vigas simples cargadas al centro

Viga simplemente apoyada con una fuerza en el centro.

La deflexión en cualquier punto, , a lo largo del claro de una viga simplemente apoyada con carga central se puede calcular usando: ^[1] ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \delta _{x}={\frac {Fx}{48EI}}\left(3L^{2}-4x^{2}\right)}$$

$${\displaystyle 0\leq x\leq {\frac {L}{2}}}$$

El caso especial de deflexión elástica en el punto medio C de una viga, cargada en su centro, soportada por dos soportes simples viene dado por: ^[1]

$${\displaystyle \delta _{C}={\frac {FL^{3}}{48EI}}}$$

• ${\displaystyle F}$= fuerza que actúa sobre el centro de la viga
• ${\displaystyle L}$= longitud de la viga entre los soportes
• ${\displaystyle E}$= módulo de elasticidad
• ${\displaystyle I}$= área momento de inercia de la sección transversal

Vigas simples con carga descentrada

Viga simplemente apoyada con una fuerza descentrada

La deflexión elástica máxima en una viga soportada por dos soportes simples, cargada a una distancia del soporte más cercano, viene dada por: ^[1] ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle \delta _{\text{max}}={\frac {Fa\left(L^{2}-a^{2}\right)^{3/2}}{9{\sqrt {3}}LEI}}}$$

• ${\displaystyle F}$= fuerza que actúa sobre la viga
• ${\displaystyle L}$= longitud de la viga entre los soportes
• ${\displaystyle E}$= módulo de elasticidad
• ${\displaystyle I}$= área momento de inercia de la sección transversal
• ${\displaystyle a}$= distancia de la carga al soporte más cercano

Esta deflexión máxima se produce a una distancia del soporte más cercano y viene dada por: ^[1] ${\displaystyle x_{1}}$

$${\displaystyle x_{1}={\sqrt {\frac {L^{2}-a^{2}}{3}}}}$$

Vigas simples cargadas uniformemente

Viga simplemente apoyada con carga uniformemente distribuida.

La deflexión elástica (en el punto medio C) en una viga sostenida por dos soportes simples, bajo una carga uniforme (como se muestra en la imagen) viene dada por: ^[1]

$${\displaystyle \delta _{C}={\frac {5qL^{4}}{384EI}}}$$

• ${\displaystyle q}$= carga uniforme sobre la viga (fuerza por unidad de longitud)
• ${\displaystyle L}$= longitud de la viga
• ${\displaystyle E}$= módulo de elasticidad
• ${\displaystyle I}$= área momento de inercia de la sección transversal

La deflexión en cualquier punto, , a lo largo del claro de una viga simplemente apoyada cargada uniformemente se puede calcular usando: ^[1] ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \delta _{x}={\frac {qx}{24EI}}\left(L^{3}-2Lx^{2}+x^{3}\right)}$$

Cargas combinadas

La deflexión de vigas con una combinación de cargas simples se puede calcular utilizando el principio de superposición .

Cambio de longitud

El cambio de longitud de la viga es generalmente despreciable en las estructuras, pero puede calcularse integrando la función de pendiente, si la función de deflexión es conocida para todos . ${\displaystyle \Delta L}$ ${\displaystyle \theta _{x}}$ ${\displaystyle \delta _{x}}$ ${\displaystyle x}$

Dónde:

• ${\displaystyle \Delta L}$= cambio de longitud (siempre negativo)
• ${\displaystyle \theta _{x}}$= función pendiente (primera derivada de ) ${\displaystyle \delta _{x}}$
• ${\displaystyle \Delta L=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{L}(\theta (x))^{2}dx}$^[2]

Si la viga es uniforme y se conoce la deflexión en cualquier punto, ésta se puede calcular sin conocer otras propiedades de la viga.

Unidades

Las fórmulas proporcionadas anteriormente requieren el uso de un conjunto consistente de unidades. La mayoría de los cálculos se realizarán en el Sistema Internacional de Unidades (SI) o en las unidades habituales de EE. UU., aunque existen muchos otros sistemas de unidades.

Sistema internacional (SI)

• Fuerza: newtons ( ) ${\displaystyle \mathrm {N} }$
• Longitud: metros ( ) ${\displaystyle \mathrm {m} }$
• Módulo de elasticidad: ${\displaystyle \mathrm {\frac {N}{m^{2}}} =\mathrm {Pa} }$
• Momento de inercia: ${\displaystyle \mathrm {m^{4}} }$

Unidades habituales de EE. UU. (EE. UU.)

• Fuerza: libras fuerza ( ) ${\displaystyle \mathrm {lbf} }$
• Longitud (Pulgadas ( ) ${\displaystyle \mathrm {in} }$
• Módulo de elasticidad: ${\displaystyle \mathrm {\frac {lbf}{in^{2}}} }$
• Momento de inercia: ${\displaystyle \mathrm {in^{4}} }$

Otros

También se pueden utilizar otras unidades, siempre que sean autoconsistentes. Por ejemplo, a veces se utiliza la unidad kilogramo-fuerza ( ) para medir cargas. En tal caso, el módulo de elasticidad debe convertirse a . ${\displaystyle \mathrm {kgf} }$ ${\displaystyle \mathrm {\frac {kgf}{m^{2}}} }$

Deflexión estructural

Los códigos de construcción determinan la deflexión máxima, generalmente como una fracción del claro, por ejemplo, 1/400 o 1/600. Ya sea el estado límite de resistencia (esfuerzo admisible) o el estado límite de servicio (consideraciones de deflexión, entre otras) pueden regir las dimensiones mínimas del miembro requerido.

La deflexión debe considerarse para el propósito de la estructura. Al diseñar un marco de acero para sostener un panel vidriado, se permite sólo una desviación mínima para evitar la fractura del vidrio.

La forma desviada de una viga se puede representar mediante el diagrama de momentos , integrado (dos veces, girado y trasladado para imponer las condiciones de apoyo).

Ver también

• Método de deflexión de pendiente

Referencias

1. Gere, James M.; Goodno, Barry J. (enero de 2012). Mecánica de Materiales (Octava ed.). págs. 1083-1087. ISBN 978-1-111-57773-5.
2. Fórmulas de Roark para tensión y deformación, octava edición, ecuación 8.1-14

enlaces externos

• Deflexión de vigas
• Deflexiones del haz
• Herramientas de cálculo para deflexión y pendiente de vigas.