En física , el acoplamiento rotacional-vibratorio [1] ocurre cuando la frecuencia de rotación de un sistema es cercana o idéntica a una frecuencia natural de vibración interna . La animación de la derecha muestra un movimiento ideal, en el que la fuerza ejercida por el resorte y la distancia desde el centro de rotación aumentan juntas de manera lineal sin fricción .
En el acoplamiento rotacional-vibratorio, la velocidad angular oscila. Al acercar las masas que giran, el resorte transfiere su energía de deformación almacenada a la energía cinética de las masas que giran, aumentando su velocidad angular. El resorte no puede acercar las masas que giran, ya que la fuerza de atracción del resorte se debilita a medida que las masas que giran se acercan. En algún momento, la velocidad angular creciente de las masas que giran supera la fuerza de atracción del resorte, lo que hace que las masas que giran se alejen cada vez más. Esto tensa cada vez más el resorte, lo que fortalece su fuerza de atracción y hace que las masas que giran transfieran su energía cinética a la energía de deformación del resorte, disminuyendo así la velocidad angular de las masas que giran. En algún momento, la fuerza de atracción del resorte supera la velocidad angular de las masas que giran, reiniciando el ciclo.
En el diseño de helicópteros , estos deben incorporar dispositivos de amortiguación , ya que a velocidades angulares específicas, las vibraciones de las palas del rotor pueden reforzarse mediante el acoplamiento rotacional-vibratorio y acumularse de manera catastrófica. Sin amortiguación, estas vibraciones provocarían el desprendimiento de las palas del rotor.
La animación de la derecha ofrece una visión más clara de la oscilación de la velocidad angular. Existe una estrecha analogía con la oscilación armónica .
Cuando una oscilación armónica se encuentra en su punto medio, toda la energía del sistema es energía cinética . Cuando la oscilación armónica se encuentra en los puntos más alejados del punto medio, toda la energía del sistema es energía potencial . La energía del sistema oscila entre energía cinética y energía potencial.
En la animación con las dos masas girando, hay una oscilación de ida y vuelta de energía cinética y energía potencial. Cuando el resorte está en su extensión máxima, la energía potencial es máxima; cuando la velocidad angular está en su punto máximo, la energía cinética es máxima.
En un resorte real existe fricción. En un resorte real la vibración se amortiguará y la situación final será que las masas girarán una alrededor de la otra a una distancia constante, con una tensión constante del resorte.
En este análisis se aplican las siguientes simplificaciones: se considera que el resorte en sí no tiene peso y que es un resorte perfecto; la fuerza de recuperación aumenta de manera lineal a medida que el resorte se estira. Es decir, la fuerza de recuperación es exactamente proporcional a la distancia desde el centro de rotación. Una fuerza de recuperación con esta característica se denomina fuerza armónica .
La siguiente ecuación paramétrica de la posición en función del tiempo describe el movimiento de las masas circulares:
dónde
El movimiento en función del tiempo también puede verse como una combinación vectorial de dos movimientos circulares uniformes. Las ecuaciones paramétricas (1) y (2) pueden reescribirse como:
Una transformación a un sistema de coordenadas que resta el movimiento circular general deja la excentricidad de la trayectoria en forma de elipse. El centro de la excentricidad se encuentra a una distancia del centro principal:
De hecho, eso es lo que se ve en la segunda animación, en la que el movimiento se asigna a un sistema de coordenadas que gira a una velocidad angular constante. La velocidad angular del movimiento con respecto al sistema de coordenadas giratorio es 2ω, el doble de la velocidad angular del movimiento general. El resorte está realizando trabajo continuamente. Más precisamente, el resorte oscila entre realizar trabajo positivo (aumentando la energía cinética del peso) y realizar trabajo negativo (disminuyendo la energía cinética del peso).
La fuerza centrípeta es una fuerza armónica.
El conjunto de todas las soluciones de la ecuación de movimiento anterior consta tanto de trayectorias circulares como de trayectorias elipsoidales. Todas las soluciones tienen el mismo período de revolución. Esta es una característica distintiva del movimiento bajo la influencia de una fuerza armónica: todas las trayectorias tardan la misma cantidad de tiempo en completar una revolución.
Cuando se utiliza un sistema de coordenadas rotatorio, se añaden a la ecuación de movimiento el término centrífugo y el término de Coriolis. La siguiente ecuación da la aceleración con respecto a un sistema rotatorio de un objeto en movimiento inercial.
Aquí, Ω es la velocidad angular del sistema de coordenadas rotatorio con respecto al sistema de coordenadas inerciales. v es la velocidad del objeto en movimiento con respecto al sistema de coordenadas rotatorio. Es importante señalar que el término centrífugo está determinado por la velocidad angular del sistema de coordenadas rotatorio; el término centrífugo no se relaciona con el movimiento del objeto.
En total, esto da los tres términos siguientes en la ecuación de movimiento para el movimiento con respecto a un sistema de coordenadas que gira con velocidad angular Ω .
Tanto la fuerza centrípeta como el término centrífugo en la ecuación de movimiento son proporcionales a r . La velocidad angular del sistema de coordenadas rotatorio se ajusta para que tenga el mismo período de revolución que el objeto que sigue una trayectoria en forma de elipse. Por lo tanto, el vector de la fuerza centrípeta y el vector del término centrífugo son, a cualquier distancia del centro, iguales entre sí en magnitud y opuestos en dirección, por lo que esos dos términos se alejan entre sí.
Solo en circunstancias muy especiales, el vector de la fuerza centrípeta y el término centrífugo se alejan entre sí a cualquier distancia del centro de rotación. Esto es así si y solo si la fuerza centrípeta es una fuerza armónica.
En este caso, solo el término de Coriolis permanece en la ecuación de movimiento.
Como el vector del término de Coriolis siempre apunta perpendicularmente a la velocidad con respecto al sistema de coordenadas rotatorio, se deduce que en el caso de una fuerza restauradora que sea una fuerza armónica, la excentricidad en la trayectoria se mostrará como un pequeño movimiento circular con respecto al sistema de coordenadas rotatorio. El factor 2 del término de Coriolis corresponde a un período de revolución que es la mitad del período del movimiento total.
Como era de esperar, el análisis con notación vectorial confirma directamente el análisis anterior:
el resorte está realizando trabajo de forma continua. Más precisamente, el resorte oscila entre realizar trabajo positivo (incrementando la energía cinética del peso) y trabajo negativo (disminuyendo la energía cinética del peso).
En la sección anterior titulada 'Conversiones de energía', se sigue la dinámica haciendo un seguimiento de las conversiones de energía . El aumento de la velocidad angular en la contracción está de acuerdo con el principio de conservación del momento angular . Dado que no hay torque que actúe sobre los pesos que giran, el momento angular se conserva. Sin embargo, esto ignora el mecanismo causal, que es la fuerza del resorte extendido y el trabajo realizado durante su contracción y extensión. De manera similar, cuando se dispara un cañón, el proyectil saldrá disparado del cañón hacia el objetivo y el cañón retrocederá, de acuerdo con el principio de conservación del momento . Esto no significa que el proyectil salga del cañón a alta velocidad porque el cañón retroceda. Si bien el retroceso del cañón debe ocurrir, como lo describe la tercera ley de Newton , no es un agente causal.
El mecanismo causal está en las conversiones de energía: la explosión de la pólvora convierte la energía química potencial en energía potencial de un gas altamente comprimido. A medida que el gas se expande, su alta presión ejerce una fuerza tanto sobre el proyectil como sobre el interior del cañón. Es a través de la acción de esa fuerza que la energía potencial se convierte en energía cinética tanto del proyectil como del cañón.
En el caso del acoplamiento rotacional-vibratorio, el agente causal es la fuerza ejercida por el resorte. El resorte oscila entre realizar trabajo y realizar trabajo negativo. (Se considera que el trabajo es negativo cuando la dirección de la fuerza es opuesta a la dirección del movimiento).
