En lógica , el principio semántico (o ley ) de bivalencia establece que cada oración declarativa que expresa una proposición (de una teoría bajo inspección) tiene exactamente un valor de verdad , ya sea verdadero o falso . [1] [2] Una lógica que satisface este principio se denomina lógica de dos valores [3] o lógica bivalente . [2] [4]
En lógica formal, el principio de bivalencia se convierte en una propiedad que una semántica puede o no poseer. Sin embargo, no es lo mismo que la ley del tercio excluido y una semántica puede satisfacer esa ley sin ser bivalente. [2]
El principio de bivalencia se estudia en la lógica filosófica para abordar la cuestión de qué enunciados del lenguaje natural tienen un valor de verdad bien definido. Las oraciones que predicen eventos en el futuro y las oraciones que parecen abiertas a la interpretación son particularmente difíciles para los filósofos que sostienen que el principio de bivalencia se aplica a todos los enunciados declarativos del lenguaje natural. [2] Las lógicas polivalentes formalizan ideas de que una caracterización realista de la noción de consecuencia requiere la admisibilidad de premisas que, debido a la vaguedad, la indeterminación temporal o cuántica o el fallo de referencia , no pueden considerarse clásicamente bivalentes. Los fallos de referencia también pueden abordarse mediante lógicas libres . [5]
El principio de bivalencia está relacionado con la ley del medio excluido , aunque esta última es una expresión sintáctica del lenguaje de una lógica de la forma "P ∨ ¬P". La diferencia entre el principio de bivalencia y la ley del medio excluido es importante porque hay lógicas que validan la ley pero no el principio. [2] Por ejemplo, la lógica de la paradoja (LP) trivalente valida la ley del medio excluido, pero no la ley de no contradicción , ¬(P ∧ ¬P), y su semántica prevista no es bivalente. [6] En la lógica intuicionista la ley del medio excluido no se cumple. En la lógica bivalente clásica se cumplen tanto la ley del medio excluido como la ley de no contradicción . [1]
La semántica prevista de la lógica clásica es bivalente, pero esto no es cierto para toda la semántica de la lógica clásica. En la semántica de valor booleano (para la lógica proposicional clásica ), los valores de verdad son los elementos de un álgebra de Boole arbitraria , "verdadero" corresponde al elemento máximo del álgebra y "falso" corresponde al elemento mínimo. Los elementos intermedios del álgebra corresponden a valores de verdad distintos de "verdadero" y "falso". El principio de bivalencia se cumple solo cuando se toma el álgebra de Boole como el álgebra de dos elementos , que no tiene elementos intermedios.
Para asignar la semántica booleana al cálculo de predicados clásico se requiere que el modelo sea un álgebra booleana completa , porque el cuantificador universal corresponde a la operación ínfima y el cuantificador existencial corresponde al supremo ; [7] esto se denomina modelo de valor booleano . Todas las álgebras booleanas finitas son completas.
Para justificar su afirmación de que verdadero y falso son los únicos valores lógicos, Roman Suszko (1977) observa que a toda lógica proposicional tarskiana estructural multivaluada se le puede proporcionar una semántica bivalente. [8]
Un ejemplo famoso [2] es el caso contingente de batalla naval que se encuentra en la obra de Aristóteles , De Interpretatione , capítulo 9:
El principio de bivalencia afirma aquí:
Aristóteles niega que se acepte la bivalencia para tales contingentes futuros; [9] Crisipo , el lógico estoico , sí aceptó la bivalencia para esta y todas las demás proposiciones. La controversia sigue siendo de importancia central tanto en la filosofía del tiempo como en la filosofía de la lógica . [ cita requerida ]
Una de las primeras motivaciones para el estudio de las lógicas polivalentes ha sido precisamente esta cuestión. A principios del siglo XX, el lógico formal polaco Jan Łukasiewicz propuso tres valores de verdad: el verdadero, el falso y el aún indeterminado . Este enfoque fue desarrollado posteriormente por Arend Heyting y LEJ Brouwer ; [2] véase lógica de Łukasiewicz .
Cuestiones como ésta también se han abordado en diversas lógicas temporales , donde se puede afirmar que " Eventualmente , o bien habrá una batalla naval mañana, o bien no la habrá" (lo cual es cierto si "mañana" finalmente ocurre).
Problemas como la paradoja de Sorites y la falacia del continuo relacionada con ella han suscitado dudas sobre la aplicabilidad de la lógica clásica y del principio de bivalencia a conceptos que pueden ser vagos en su aplicación. Se han propuesto la lógica difusa y otras lógicas multivaluadas como alternativas que manejan mejor los conceptos vagos. La verdad (y la falsedad) en la lógica difusa, por ejemplo, se dan en distintos grados. Consideremos la siguiente afirmación en el caso de clasificar manzanas en una cinta transportadora en movimiento:
Al observarla, la manzana es de un color indeterminado entre amarillo y rojo, o tiene manchas de ambos colores. Por lo tanto, el color no entra en la categoría "rojo" ni "amarillo", pero estas son las únicas categorías disponibles para nosotros cuando clasificamos las manzanas. Podríamos decir que es "50% rojo". Esto podría reformularse: es 50% cierto que la manzana es roja. Por lo tanto, P es 50% verdadero y 50% falso. Ahora considere:
En otras palabras, P y no-P. Esto viola la ley de no contradicción y, por extensión, la bivalencia. Sin embargo, esto es sólo un rechazo parcial de estas leyes porque P es sólo parcialmente cierto. Si P fuera 100% cierto, no-P sería 100% falso, y no hay contradicción porque P y no-P ya no se cumplen.
Sin embargo, se mantiene la ley del tercero excluido, porque P y no-P implica P o no-P, ya que "o" es inclusivo. Los únicos dos casos en los que P y no-P son falsos (cuando P es 100% verdadero o falso) son los mismos casos considerados por la lógica de dos valores, y se aplican las mismas reglas.
Ejemplo de una lógica de 3 valores aplicada a casos vagos (indeterminados) : Kleene 1952 [11] (§64, pp. 332–340) ofrece una lógica de 3 valores para los casos en los que los algoritmos que involucran funciones recursivas parciales pueden no devolver valores, sino que terminan con circunstancias "u" = indeciso. Deja "t" = "verdadero", "f" = "falso", "u" = "indeciso" y rediseña todos los conectores proposicionales. Observa que:
Estábamos justificados intuicionistamente al usar la lógica clásica de 2 valores, cuando usábamos los conectivos para construir predicados recursivos primitivos y generales, ya que hay un procedimiento de decisión para cada predicado recursivo general; es decir, se demuestra intuicionistamente que la ley del tercero excluido se aplica a predicados recursivos generales.
Ahora bien, si Q(x) es un predicado recursivo parcial, existe un procedimiento de decisión para Q(x) en su rango de definición, de modo que la ley del tercero excluido o del tercero excluido (que dice que Q(x) es t o f) se aplica intuicionistamente en el rango de definición. Pero puede que no haya ningún algoritmo para decidir, dado x, si Q(x) está definido o no. [...] Por lo tanto, es solo clásicamente y no intuicionista que tenemos una ley del cuarto excluido (que dice que, para cada x, Q(x) es t, f o u).
El tercer "valor de verdad" u no está, por tanto, a la par con los otros dos t y f en nuestra teoría. La consideración de su estado mostrará que estamos limitados a un tipo especial de tabla de verdad".
Las siguientes son sus "tablas fuertes": [12]
Por ejemplo, si no se puede determinar si una manzana es roja o no, entonces el valor de verdad de la afirmación Q: "Esta manzana es roja" es "u". Asimismo, el valor de verdad de la afirmación R: "Esta manzana no es roja" es "u". Por lo tanto, la operación AND de estos en la afirmación Q AND R, es decir, "Esta manzana es roja AND esta manzana no es roja", según las tablas, dará como resultado "u". Y, la afirmación Q OR R, es decir, "Esta manzana es roja OR esta manzana no es roja" también dará como resultado "u".
